《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第12讲 双变量不等式：剪刀模型（解析版）

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第12 讲 双变量不等式:剪刀模型
参考答案与试题解析
一．解答题（共 14 小题）
1．（2021 春•重庆期末）已知 有两个极值点 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）当 时，证明： ．
【解答】（1）解：由题意可知，函数 的定义域为 ，
则 ，
令 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，
则函数 有两个零点 ， ，又 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，函数 至多有一个零点，不符合题意；
当 时，令 ，可得 ，
所以当 时， ，则 单调递减，
当 ， 时， ，则 单调递增，
又 （1） ，
所以当 ，即 时， 有唯一的零点 ，故符合题意；
当 ，即 时， （1） ，
当 ，即 时， 在 上有唯一的零点 ，
，
设 （a） ， ，
则 （a） ，所以 （a）在 上单调递减，
则 （a） ，即 ，
又 ，所以 在 ， 上有唯一的零点，此时 有两个零点，符合题意；
当 ，即 时， 在 ， 上有唯一的零点 ，
而 ， ，
所以 在 上有唯一的两点，此时 有两个零点，符合题意．
综上所述， 的取值范围为 ， ， ；
（2）证明：由（1）可知，当 时， 有两个极值点 ， ，
不妨设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减， ，即 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ， ，
故 ．
2．（2021 秋•和平区校级月考）已知函数 在点 ， 处的切线方程为
．
（1）求 ， ；
（2）设曲线 与 轴负半轴的交点为点 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意
的实数 ，都有 ；
（3）若关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明： ．
【解答】解：（1）将 代入切线方程
中，有 ，
所以 ，即 ，
又 ，
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