《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第11讲 双变量不等式：极值和差商积问题（解析版）

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第11 讲 双变量不等式:极值和差商积问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 21 小题）
1．（2021 春•温州期中）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ．
（2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
【解答】证明：（1）当 时， ，定义域为 ，
， 在定义域上恒成立，
所以 在 上单调递减，
当 时， （1） ，
当 时， （1） ，原命题得证．
（2） ，
若存在两个极值点，则 ，解得 ，
由韦达定理可知， ， ，
，
原命题即证： ，
不妨设 ，原命题即证： ，
由 知， ，即证： ，不妨令 ，
原命题即证： ，记 ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
（1） ，原命题得证．
2．（2021 春•浙江期中）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）若 存在两个极值点 ， ，证明： ．
【解答】（1）解：因为 ，
则 ，
当 时， ，
所以 （1） ，
则 在 处的切线方程为 ；
（2）解：函数的定义域为 ，且 ，
令 ，且 ，
①当 时， 恒成立，此时 ，则 在 上单调递减；
②当 时，判别式△ ，
当 时，△ ，即 ，所以 恒成立，此时函数 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 和 ， 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 和 ， 上单
调递减．
（3）证明：由（2）可知， ， ， ，
则
，
则 ，
故问题转化为证明 即可，
即证明 ，则 ，
即证 ，即证 在 上恒成立，
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