《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第10讲 双变量不等式：中点型（解析版）

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第10 讲 双变量不等式:中点型
参考答案与试题解析
一．解答题（共 19 小题）
1．（2021•呼和浩特二模）已知函数 ．
①讨论 的单调性；
②设 ，证明：当 时， ；
③函数 的图象与 轴相交于 、 两点，线段 中点的横坐标为 ，证明 ．
【解答】解：①函数 的定义域为 ，
，
当 时，则由 ，得 ，
当 时， ，当 ， 时， ，
在 单调递增，在 ， 上单调递减；
当 时， 恒成立，
在 单调递增；
②设函数 ，
则 ，
，
当 时， ，而 ，
，
故当 时， ；
③由①可得，当 时，函数 的图象与 轴至多有一个交点，
故 ，从而 的最大值为 ，且 ，
不妨设 ， ， ， ， ，则 ，
由②得， ，
又 在 ， 上单调递减，
，于是 ，
由①知， ．
2．（2021 秋•山西期末）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）如果方程 有两个不相等的解 ， ，且 ，证明： ．
【解答】解：（1） ，
①当 时， ， ， 单调递增；
②当 时， ， ， 单调递减；
， ， 单调递增，
综上，当 时， 在 单调递增；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增．
（2）由（1）知，当 时， 在 单调递增， 至多一个根，不符合题意；
当 时， 在 单调递减，在 单调递增，则 （a） ．
不妨设 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ．
因为 在 单调递增，即证 ，
因为 ，所以即证 ，即证 ，
令
．
．
当 ，时， ， 单调递减，又 ，
所以 ，时， ，即 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ．
3．（2021•沙坪坝区校级开学）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，若函数 的两个极值点 ， 恰为函数 的两个零点，且
的取值范围是 ， ，求实数 的取值范围．
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