《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第08讲 双变量不等式：转化为单变量问题（解析版）

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第08 讲 双变量不等式:转化为单变量问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 15 小题）
1．（2021•宝坻区模拟）已知 ， ．
（1）求 在 ， （1） 处的切线方程及极值；
（2）若不等式 对任意 成立，求 的最大整数解．
（3） 的两个零点为 ， ，且 为 的唯一极值点，求证： ．
【解答】解：（1） ，定义域是 ，
， （1） ， （1） ，
故切线方程是： ，即 ；
，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 递减，在 递增，
（3） ，无极大值；
（2）若不等式 对任意 成立，
则 ， ，
令 ，则 ， 在 递增，
且 （3） ， （4） ，故存在 ，使得 ，即 ，
故 在 递减，在 ， 递增，且 ，
故 的最大整数解为 9；
（3）证明： ，
，得： ，
当 时， ， ， 时， ，
故 在 递减，在 ， 递增，
而要使 有 2个零点，要满足 ，
即 ，解得： ，
， ，令 ，由 ，
，即 ，
，而要证 ，
只需证明 ，即证 ，即证 ，
由 ， ，只需证明 ，
令 ，则 ，
，
故 在 递增， （1） ，
故 在 递增， （1） ，
．
2．（2021 春•荔湾区校级期中）已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，试求函数图象在点 ， （1） 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 有两个极值点 、 ，且不等式 恒成立，试求实数 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当 时， ，则 ，
故所求切线的斜率 （1） ，
又 （1） ，
切线方程为 ，即 ；
（Ⅱ） ，令 ，则 ，
当 时， ，函数 在 单调递增，无极值点；
当 时 ， 函 数 在 上 有 两 个 极 值 点 ， ， 则
，
由 可得， ，由 恒成立，即 恒成立，
，
令 ，则 ，
由 知， ，故 ，
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