《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第07讲 极值点偏移：商型（解析版）

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第07 讲 极值点偏移:商型
参考答案与试题解析
一．解答题（共 7小题）
1．已知函数 有两个相异零点 、 ，且 ，求证： ．
【解答】证明： ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值，且为最大值等于 ．
由函数 有两个相异零点 、 ，可得 ，
即 ．
（a） ，
，
，
即 ，
则 ，
， ，
．
2．（2021•新疆模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知 ， ， 为函数 的两个极值点，求 的最大值．
【解答】解：（1）当 时， ， ，
，
令 ，可得 或 ，令 ，可得 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
（2） ，
因为 ， 为函数 的两个极值点，
所以 ， 是方程 的两个根，
所以 ， ，可得 ，
因为 ，所以 为增函数， 为增函数且大于 0， 为增函数且大于 0，
所以 为增函数，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，
，所以 在 ， 上单调递减，
所以 的最大值为 （3） ．
3．（2021 春•湖北期末）已知函数 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性：
（2）若函数 恰有两个极值点 ， ，且 ，求 的最大值．
【解答】解：（1）函数的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
当 时，令 ，则 ，设 ，则 ，
易知，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
，
， 在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增．
（2）依题意， ，则 ，
两式相除得， ，设 ，
则 ， ， ， ， ，
，
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