《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第06讲 极值点偏移：乘积型（解析版）

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第06 讲 极值点偏移:乘积型
参考答案与试题解析
一．解答题（共 17 小题）
1．（2021 春•汕头校级月考）已知，函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个零点，
求 的取值范围；
设 的两个零点分别为 ， ，证明： ．
【解答】解：（1）函数的定义域为 ，
，
①当 时， ， 在 单调递增；
②当 时，由 得 ，
则当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减．
（2） 法 1：函数 有两个零点即方程 在 有两个不同根，
转化为函数 与函数 的图象在 上有两个不同交点，如图：
可见，若令过原点且切于函数 图象的直线斜率为 ，
只须 ，
设切点 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
于是 ，所以 ，
法2：由（1）当 时， 在 单调递增，不可能有两个零点，
，
此时 ，
需 解得 ，
从而 ，
又 故 在 有一个零点； ，
设 ， ，则
故 在 单调递减 在 有一个零点故 的取值范围为
．
原不等式 ，
不妨设 ，
， ，
， ，
， ，
，
令 ，则 ，于是 ，设函数 ，
求导得： ，
故函数 是 上的增函数，
（1） ，即不等式 成立，故所证不等式 成立．
2．（2021•攀枝花模拟）已知函数 有最小值 ，且 ．
（Ⅰ）求 的最大值；
（Ⅱ）当 取得最大值时，设 （b） ， 有两个零点为 ， ，证
明： ．
【解答】解：（Ⅰ）有题意 ，
当 时， ， 在 上单增，此时显然不成立，
当 时，令 ，得 ，
此时 在 上单减，在 上单增，
（b） ，即 ，所以 ， ．
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