《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第05讲 极值点偏移：平方型（解析版）

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第05 讲 极值点偏移:平方型
参考答案与试题解析
一．解答题（共 9小题）
1．（2021•广州一模）已知函数 ．
（1）证明：曲线 在点 ， （1） 处的切线 恒过定点；
（2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： ．
【解答】证明：（1） ，
（1） ，又 （1） ，
曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
即 ，当 时， ，
故直线 过定点 ， ；
（2） ， 是 的两个零点，且 ，
，可得 ，
，
令 ， ，
构造函数 ， ，
令 ，则 ，则 在 上单调递增，
而 （2） ， ，则 在 上单调递增，
（2） ，可得 ，则 ，
即 ，则 ．
2．（2021•浙江开学）已知 ， （其中 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，函数 有两个零点 ， ，求证： ．
【解答】解： ，
， 时， ，
，
时，增区间为： ，减区间为： ；
时， ，
时，增区间为： ；
时， ，
，
时，增区间为： ，减区间为： ；
综上： 时，增区间为： ，减区间为： ；
时，增区间为： ；
时，增区间为： ，减区间为： ；
（Ⅱ）证法一：由（1）知， 时，增区间为： ，减区间为： ；
且 时， ， ，
函数 的大致图像如下图所示：
因为 时，函数 有两个零点 ， ，所以 ，即 ，
不妨设 ，则 ，
先证： ，即证： ，
因为 ，所以 ，又 在 单调递增，所以即证：
又 ，所以即证： ， ，
令函数 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，故 ，
函数 在 单调递增，所以 ，
因为 ，所以， ，即 ，
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