《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第04讲 极值点偏移：减法型（解析版）

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第04 讲 极值点偏移:减法型
参考答案与试题解析
一．解答题（共 12 小题）
1．（2021•七星区校级月考）已知函数 ．
（1）若 在 上单调递减，求 的取值范围；
（2）若 在 处的切线斜率是 ，证明 有两个极值点 ，且 ．
【解答】解：（1） ，
在 递减，
在 上恒成立，
在 上恒成立，
令 ， ，
时， ， 递增，
时， ， 递减，
（1） ，
；
（2）由题意得 （1） ， ，
， ，
，令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
故 在 递增， 在 递减，
又 （2） ， ， ，
故 分别在 ， 和 有零点 ， ，（不妨设 ，
时， ， 递减，
时， ， 递增，
时， ， 递减，
故 在 ， 和 有 2个极值点 ， ，
而 ， ， ，
（4） ， ， ，
， ，
，
故原命题成立．
2．（2021•常熟市月考）设函数 ， ，其中 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；
（2）设 ，且 ，其中 是自然对数的底数．
①证明 恰有两个零点；
②设 如为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明： ．
【解答】（1）解：令 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
又 在 ， 上连续，
所以当 时， （1） ，即当 时， ；
（2）证明：①，得 ，
令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 （1） ，
且 ．
故 在 有唯一解，从而 在 内有唯一解，
不妨设为 ，则 ，
当 时， ，所以 在 内单调递增；
当 ， 时， ，所以 在 ， 内单调递减，
因此 是 的唯一极值点．
由（1）知 ．从而 ，
又因为 （1） ，所以 在 ， 内有唯一零点．
又 在 内有唯一零点 1，从而 在 内恰有两个零点．
②由题意， ，即 ，
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