《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第03讲 极值点偏移：加法类型（解析版）

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第03 讲 极值点偏移:加法类型
参考答案与试题解析
一．解答题（共 27 小题）
1．（2021•浙江期中）已知函数 有两个不同的零点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
【解答】解：（1） 函数
，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
故当 时，函数 取最小值 ，
若函数 有两个不同的零点 ， ．
则 ，即 ；
证明：（2）若函数 有两个不同的零点 ， ．不妨设 ，
则 ，且 ，
若证 ．即证 ，
构造函数 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，所以 单调递增，
所以 （1） ，
所以 ，所以 （1） ，
即 ， ，
又 ，所以
因为 在区间 上单调递增，
所以 ，故原不等式得证．
2．（2021•汕头一模）已知函数 有两个相异零点 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）求证： ．
【解答】解：（1） ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
要使函数 有两个相异零点，必有 （1） ， ，
当 时， ，且 ， 函数 在 有一个零点
， ， 函数 在 有一个零点，
的取值范围为 ．
（2）由（1）知， ，
， ，
要证 ， ，
故构造函数 ， ，
则 ，所以 在 单调递减， （1） ．
， ，
构造函数 ，
，
下面证明 ，即证明 ，
构造函数 ， ．
在 上恒成立，
因此 在 递增，从而 （1） ，
， 在 递增，
（1） ，
，
时， ， 单调递增，
，
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