《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第02讲 双变量单调问题（解析版）

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第02 讲 双变量单调问题
参考答案与试题解析
1．（2019•苏州三模）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）函数 的图象能否与 轴相切？若能，求出实数 ，若不能，请说明理由；
（Ⅱ）求最大的整数 ，使得对任意 ， ，不等式 恒成立．
【解答】解：（Ⅰ） ．
假设函数 的图象与 轴相切于点 ，
则有 ，即 ．
显然 ， ，代入方程 中得， ．
△， 方程 无解．
故无论 取何值，函数 的图象都不能与 轴相切；
（Ⅱ）依题意，
恒成立．
设 ，则上式等价于 ，
要使 对任意 ， 恒成立，即使 在 上单调递
增，
在 上恒成立．
（1） ，则 ，
在 上成立的必要条件是： ．
下面证明：当 时， 恒成立．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
，即 ， ．
那么，当 时， ， ；
当 时， ， ， 恒成立．
因此， 的最大整数值为 3．
2．（2020 秋•龙岩期中）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，且 存在两个极值点 ， ，证明： ．
【解答】解：（1） 的定义域为 ， ，
若 ，则 ，所以 在 单调递增；
若 ，当 时， ；
当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增；
证明：（2）因为 存在两个极值点且 ，
，
所以 的两个极值点 ， 满足 ，
所以 ，不妨设 ，则 ，
则
，
要证 ，只需证 ，
设 ，
则 ，
知 在 单调递减，又 （1） ，
当 时， ，故 ，
即 ，
所以 ．
3．（2020•辽宁）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ．如果对任意 ， ， ，求 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 的定义域为 ， ．
当 时， ，故 在 单调递增；
当 时， ，故 在 单调递减；
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