《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第01讲 极值与最值问题（解析版）

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第01 讲 极值与最值问题
参考答案与试题解析
1．（2020 春•武汉期中）已知函数 ， ．
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处具有公共切线，求 ， 的值；
（2）当 时，求函数 的单调区间，并求其在区间 ， 上的最大值．
【解答】解：（1）由 公共切点可得： ，
则 ， ， ，
则 ， ， ①
又 （1） ， （1） ， ，即 ，代入①式可得： ．
（2） ， 设
则 ，
令 ，解得： ， ；
， ，
原函数在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增
①若 ，即 时，最大值为 ；
②若 ，即 时，最大值为
③若 时，即 时，最大值为 ．
综上所述：当 ， 时，最大值为 ；当 时，最大值为 ．
2．（2020 春•临猗县校级月考）已知函数
（1） 时，求 的单调区间；
（2）设 ， ，若 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1） 时， ，
，
令 ，解得： ， ，
令 ，解得： ，
在 ， 递增，在 递减；
（2）设 ， ，若 恒成立，
只需 即可，
令 ，
，
①时， 在 ， 递增，在 递减，
（1） ，又 ，
解得： ，
②时， ， 在 ， 单调递增，
，
③时， 在 ， 递增，在 递减，
只需 （a） ，
解得： ，
综合①②③得： 的取值范围是 ， ．
3．（2020 春•临夏市校级月考）已知函数 ．
（1）若 在 ， 上是减函数，求实数 的取值范围．
（2）若 的最大值为 6，求实数 的值．
【解答】解：（1） 函数 ， 的定义域为 ．
，
在 ， 上是减函数，
在 ， 内恒成立，
在 ， 内恒成立，
设 ，则 ，
， ， 在 ， 内单调递增，
（1） ，
．
（2）由（1）可得 （1） ，又 的最大值为 6，则 （1） ，
， ．
下面证明：当 时， ，即 ，也即 ，
设 ， ，
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