《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第12讲 空间向量的求解（原卷版）

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第12 讲 空间向量的求解
题型一：异面直线所成的角
1．如图所示，四边形 是边长为 4菱形， 是 与 的交点， ， ， 是平面
同一侧的两点， 平面 ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与直线 所成角的余弦值．
2．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ，
．
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
3． 如 图 ， 在 长 方 体 中 ， 、 分 别 是 棱 ， 上 的 点 ， ，
，
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）证明 平面 ；
（3）求二面角 的正弦值．
4．如图，在 中， ， ， 是高，沿 把 折起，使 ．
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）设 为 的中点，求 与 夹角的余弦值．
5． 如 图 ， 在 中 ， ， ， 是 上 的 高 ， 沿 把 折 起 ， 使
．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设 为 的中点，求异面直线 与 的夹角的余弦值．
题型二：直线与平面所成的角
6．如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， 为
线段 上一点， ， 为 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
7．如图，在三棱柱 中， ，侧面 是边长为 2的正方形，点 、 分别是线段
， 的中点，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8． 已 知 三 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ， 为 上 一 点 ，
， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小；
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