《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第12讲 空间向量的求解（解析版）

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第12 讲 空间向量的求解
题型一：异面直线所成的角
1．如图所示，四边形 是边长为 4菱形， 是 与 的交点， ， ， 是平面
同一侧的两点， 平面 ， 平面 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与直线 所成角的余弦值．
【解答】解： 是菱形， ，
， ， ，
以 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴， 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
易知 ，0， ， ， ，0， ， ， ， ， （2分）
（1）证明： ， ，
，
， ，即 ， ， ， ， 平面
平面 （8分）
（2）由（1） ，
设直线 与直线 所成角的角为 ，则 ，
直线 与直线 所成角的余弦值为 ． （12 分）
2．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ，
．
（Ⅰ）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知 ，
故 或其补角即为异面直线 与 所成的角．
因为 平面 ，所以 ．
在 中，由已知，得 ，
故 ．
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
证明：（Ⅱ）因为 平面 ，直线 平面 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 平面 ．
解：（Ⅲ）过点 作 的平行线交 于点 ，连结 ，
则 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角．
因为 平面 ，故 为 在平面 上的射影，
所以 为直线 和平面 所成的角．
由于 ， ，故 ，
由已知，得 ．又 ，故 ，
在 中，可得 ．
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
3． 如 图 ， 在 长 方 体 中 ， 、 分 别 是 棱 ， 上 的 点 ， ，
，
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）证明 平面 ；
（3）求二面角 的正弦值．
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