《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第11讲 空间中的平行、垂直关系（解析版）

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第11 讲 空间中的平行、垂直关系
题型一：空间中的平行关系
1．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 面 ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）设置 ， ，四棱锥 的体积 ，求 到平面 的距离．
【解答】解：（1）证明：连接 、 相交于 ，连接 ．
为 的中点， ，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）设 ，又 ， ，
，可得 ，
面 ， ，由三垂线定理可得， ，
， ， ，
又 ， ，
设 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，
解得 ．
即 到平面 的距离为 ．
2．如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为
线段 上一点， ， 为 的中点，
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得： ，取 的中点 ，连接 ， ，
又 ，即 ．故四边形 为平行四边形，
于是 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（ Ⅱ ） 由 题 意 可 得 ： 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ，
，
为线段 上一点， ， 为 的中点， 为 的中点，
， ， ， ， ，
， ，
，
，
，
解得 ，
所求距离为 ．
3．如图，四边形 是平行四边形，平面 平面 ， ， ， ，
， ， ， 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）求点 到平面 的距离．
【解答】证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ，
在 中，因为 是 的中点，
所以 且 ， （1分）
因为 ， ， ，
所以 且 ， （2分）
所以四边形 是平行四边形，所以 ， （3分）
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． （4分）
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