《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第10讲 随机变量及其分布列、期望与方差（原卷版）

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第10 讲 随机变量及其分布列、期望与方差
题型一：二项分布
1．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有 4个红球、6个
白球的甲箱和装有 5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的 2个球中，若都是红球，
则获得一等奖；若只有 1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖．
（1）求顾客抽奖 1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有 3次抽奖机会，记该顾客在 3次抽奖中或一等奖的次数为 ，求 的分布列、数学期望
和方差．
2．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图如图所示：老板根据销
售量给以店员奖励，具体奖励规定如表：
销售量 个
奖励金额（元 0 50 100 150
（1）求在未来连续 3天里，店员共获得奖励 150 元的概率
（2）记未来连续 2天，店员获得奖励 元，求随机变量 的分布列及数学期望 ．
3．某学生在上学路上要经过 4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，
遇到红灯时停留的时间都是 ．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 的概率；
（3）求这名学生在路上因遇到红灯停留的总时间 的分布列、期望及方差．
4．甲，乙两队参加世博会知识竞赛，每队 3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．
假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中 3人答对的概率分别为 ， ， ，且各人答对与否相互之间
没有影响，用 表示甲队的总得分．
（1）求随机变量 的分布列；
（2）设 表示事件“甲队得 2分，乙队得 1分”，求 （C）．
题型二：超几何分布
5．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员 3
名，其中种子选手 2名；乙协会的运动员 5名，其中种子选手 3名．从这 8名运动员中随机选择 4人参加
比赛．
（Ⅰ）设事件 为“选出的 4人中恰有 2名种子选手，且这 2名种子选手来自不同协会”，求事件 发生
的概率；
（Ⅱ）设随机变量 为选出的 4人中种子选手的人数，求 的分布列．
6．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽 3个，白粽 5个，
这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3个．
（Ⅰ）求三种粽子各取到 1个的概率；
（Ⅱ）设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列与数学期望．
7．某市 ， 两所中学的学生组队参加信息联赛， 中学推荐了 3名男生、2名女生， 中学推荐了 3名
男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机
抽取 3人、女生中随机抽取 3人组成代表队参赛．
（Ⅰ）求 中学至少有 1名学生入选代表队的概率；
（Ⅱ）设 表示 中学参赛的男生人数，求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知3名男生的比赛成绩分别为 76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为 77， ，81，若 3
名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出 的取值范围（不要求过程）．
8．某大学志愿者协会有 5名男同学，3名女同学，在这 8名同学中，3名同学来自数学学院，其余5名同
学来自物理、化学等其他互不相同的五个学院．现从这 8名同学中随机选取 3名同学，到希望小学进行支
教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 为选出的 3名同学中女同学的人数，求随机变量 的分布列和数学期望．
9．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验
的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受
心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6名男志愿者 ， ， ， ， ， 和 4名女志
愿者 ， ， ， ，从中随机抽取 5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 但不包含的概率．
（Ⅱ）用 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 的分布列．
题型三：其它分布
10．一盒中装有 9张各写有一个数字的卡片，其中 4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡
片上的数字是3，从盒中任取 3张卡片．
（Ⅰ）求所取 3张卡片上的数字完全相同的概率；
（Ⅱ） 表示所取 3张卡片上的数字的中位数，求 的分布列与数学期望．
（注：若三个数 ， ， 满足 ，则称为这三个数的中位数）
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