《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第07讲 数列的综合问题（解析版）

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第07 讲 数列的综合问题
题型一：数列的单调性与最值
1．已知首项为 的等比数列 不是递减数列，其前 项和为 ，且 ， ，
成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若实数 使得 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1）设等比数列 的公比为 ，
由 ， ， 成等差数列，可得：
，
即 ，
即有 ，即为 ，
解得 ，
由等比数列 不是递减数列，可得 ，
即 ．
（2）由（1）得
当 为奇数时， 随 的增大而减小，所以
．
当 为偶数时， 随 的增大而增大，所以
实数 使得 对任意 恒成立，则 的取值范围为 ，
2．已知数列 满足 ，且 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求使不等式 对一切 且 均成立的最大整
数 ．
【解答】解：（1）数列 满足 ，且 ， ，
整理得： ， ，
故猜想 ，
证明如下：
（1）当 时，显然成立；
（2）当 时， ，
当 时， ，
即当 时，猜想成立，
所以 ．
（2）由题意得 对 ， 恒成立，
记 ，
则 ．
，
，即 是随 的增大而增大，
的最小值为 ， ，
所以 ．
3．已知数列 满足 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，则求出 的值；
（Ⅲ）已知 是公比 大于 1的等比数列，且 ， ，设 ，若 是递减数列，
求实数 的取值范围
【解答】解：（Ⅰ）由题意，数列 的前 项和 ．
当 时，有 ，所以 ．
当 时，
．
所以，当 时， ；
又 符合， 时 与 的关系式，所以 ．
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