《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第06讲 数列求和（解析版）

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第06 讲 数列求和
题型一：错位相减法
1．已知正项数列 满足 ， ，数列 为等差数列， ，
．
（1）求证： 为等比数列，并求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
【解答】解：（1）证明：正项数列 满足 ，
可得 ， ，
则 ，即有 ，
可得 为首项为 2，公比为 2的等比数列；
则 ，即 ，
数列 为等差数列， ，即 ， ，
，即 ，
解得 ， ，
可得 ；
（2） ，
数列 的前 项和 ，
可设 ，
，
相减可得
，
化为 ，
则数列 的前 项和 ．
2．已知数列 的前 项和 满足 ，且 是 ， 的等差中项， 是等差数
列， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2） ，求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）由题意知，当 时， ，
又因为 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
由于 是 ， 的等差中项，
所以 ，
整理得： ，
解得 ．
所以数列 是以 1为首项，3为公比的等比数列，
故 ．
设数列 是等差数列，公差为 ，
则 ， ，
解得： ， ，
所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ，①
，②
① ② 得： ，
整理得： ．
3．设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 前 项和为 ，且 ．令 ．求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ， 得 解得 ， ，
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