《决胜2022年新高考数学中档题提分精练》第05讲 等差数列、等比数列的证明及条件的探究（解析版）

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第05 讲 等差数列、等比数列的证明及条件的探究
题型一：等差数列、等比数列的证明
1．已知数列 的前 项和 ，其中 ．
（1）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（2）若 ，求 ．
【解答】解：（1）根据题意，若 ， ， ．
当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，
， ． ．即 ，即 ， ，
是等比数列，公比 ，
当 时， ，即 ，
；
（2）若 ，则 ，即 ，
则 ，得 ．
2．已知数列 满足 ， ．
（1）求证数列 是等比数列，并求其通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ；
（3）设 ，求证： ．
【解答】（1）解： ，
， 是以 2为首项，2为公比的等比数列
；
（2）解：
两式相减可得
；
（3）证明： ，
设 ，则 ，
当 时，
综上：
3．已知数列 的前 项和为 ， ，记 ．
（1）证明：数列 为等比数列，并求其通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【解答】解：（1）证明：由 ，得 ，
当 时，由 ，可得 ，
上述两式作差得 ，
整理得 ，即 ，
所以 ，
当 时， ，所以 ， ，
所以 是以 为首项，公比为 3的等比数列，
所以 ．
（2）由（1）可得 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
，
作差得 ，
，
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