《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题31概率与统计创新题型备考策略与方法（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 31 概率与统计创新题型备考策略与方法
随着《普通高中数学课程标准（2017 年版）》（以下简称《课标（2017 年版）》）地逐步实施，高考数学
内容及形式的改革也同步启动，尤其是高考内容的改革，在近两年已经显露头角，如考查的内容与最新的
科技成果、文学、艺术、美学，以及中华优秀传统文化相结合等.其中，对概率与统计内容的考查被提升到
较高的位置，如概率与统计的解答题，原来被设置在主观题第二题的位置，2019 年被设置为高考数学全国
卷I理科的压轴题.另外，在《课标（2017 年版）》中，概率与统计属于加强内容，已被单独列为高中数学
四大主题之一.
随着概率与统计内容在《课标（2017 年版）》中要求的提高，在高考考查中难度增大、分值增加，同时概
率与统计又与社会、经济、科技发展密切联系，概率与统计内容在高考考查中逐步呈现出综合性、应用性
和创新性等特点，成为当下高考备考的热点问题和难点问题.
下面就以近年高考概率与统计创新性题型的复习为例，展示上述复习方式的核心理念及关键做法.
1按照同类为伍、近类为邻的原则，设计或构建相近问题题组，凸显共性和规律.
众所周知，对于重要的知识、重要的思想方法的理解掌握及灵活运用，不是通过一两个问题的解决能够实
现的，往往需要经过一类问题的变式研究及反复比较，提炼核心问题，总结规律方法，才能认清其问题的
本质及思想方法的实质，达到对知识和思想方法的理解掌握、灵活运用.
例1（2019 年高考数学全国卷Ⅰ理科第 21 题）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮
的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4只时，就停
止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治
愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治
愈则乙药得 1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分．甲、乙两种药的治愈率分别记
为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X．
（1）求 X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为 i时，最终
考点命题分析
认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0＝0，p8＝1，pi＝api1﹣+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中 a＝
P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设 α＝0.5，β＝0.8．
（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；
（ii）求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性．
变式 1某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都
是 ，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下次出现红灯的概率是 ，出现绿灯的概率是 ；若前次出
现绿灯，则下次出现红灯的概率是 ，出现绿灯的概率是 ，记开关第 n次闭合后出现红灯的概率为 Pn.
(Ⅰ)求P2；
(Ⅱ)开关闭合 10 次时，出现绿灯的概率是多少?
变式 2A，B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 3的倍数时，则由原掷骰子的人
继续掷；若掷出的点数不是 3的倍数时，由对方接着掷.第一次由A开始掷.设第 n次由A掷的概率为 Pn.
(Ⅰ)求Pn；
（Ⅱ）求前 4次抛掷中 A恰好掷3次的概率 P.
变式 1、变式 2的题目情境不同，但知识的架构、问题的本质和解决问题的思想方法是一致的.只不过变式
1、变式 2需要答题者自己先构建数列的递推关系式，然后再求其通项，难度更大.
现实问题是多样的，情境是不同的，但是很多问题的内部又具有高度的统一性 .从高考数学备考的质量要求
看，追求的就是这种“博观约取”，提炼共性和规律，达到举一反三、触类旁通的效果.
下面的题组是以 2018 年高考数学全国卷 I理科第 20 题为框架结构构造的.供读者进一步体会上述复习方法.
例2（2018 年高考数学全国卷理科第 20 题）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格
品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有
产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记 20 件产品中恰有 2件不合格品的概率为 f（p），求 f （p）的最大值点 p0．
（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2件不合格品，以（1）中确定的 p0作为 p的值．已知每件产品
的检验费用为 2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X，求 EX；
（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【解答】解：（1）记 20 件产品中恰有 2件不合格品的概率为 f（p），
则f（p） ，
∴，
令f′（p）＝0，得 p＝0.1，
当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，
当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，
∴f （p）的最大值点 p0＝0.1．
（2）（i）由（1）知 p＝0.1，
令Y表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y～B（180，0.1），
X＝20×2+25Y，即 X＝40+25Y，
∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．
（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，
∵E（X）＝490＞400，
∴应该对余下的产品进行检验．
变式 3某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延
保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2次每次收取维修
费 2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过4次每次收取维修费
1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并
整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 0 1 2 3
台数5 10 20 15
以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记 X 表示这 2 台机器超过质保期后延保
的两年内共需维修的次数．
（1）求 X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
变式 4某大型工厂有 台大型机器，在 个月中， 台机器至多出现 次故障，且每台机器是否出现故障是相
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