《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题31概率与统计创新题型备考策略与方法（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 31 概率与统计创新题型备考策略与方法
随着《普通高中数学课程标准（2017 年版）》（以下简称《课标（2017 年版）》）地逐步实施，高考数学
内容及形式的改革也同步启动，尤其是高考内容的改革，在近两年已经显露头角，如考查的内容与最新的
科技成果、文学、艺术、美学，以及中华优秀传统文化相结合等.其中，对概率与统计内容的考查被提升到
较高的位置，如概率与统计的解答题，原来被设置在主观题第二题的位置，2019 年被设置为高考数学全国
卷I理科的压轴题.另外，在《课标（2017 年版）》中，概率与统计属于加强内容，已被单独列为高中数学
四大主题之一.
随着概率与统计内容在《课标（2017 年版）》中要求的提高，在高考考查中难度增大、分值增加，同时概
率与统计又与社会、经济、科技发展密切联系，概率与统计内容在高考考查中逐步呈现出综合性、应用性
和创新性等特点，成为当下高考备考的热点问题和难点问题.
下面就以近年高考概率与统计创新性题型的复习为例，展示上述复习方式的核心理念及关键做法.
1按照同类为伍、近类为邻的原则，设计或构建相近问题题组，凸显共性和规律.
众所周知，对于重要的知识、重要的思想方法的理解掌握及灵活运用，不是通过一两个问题的解决能够实
现的，往往需要经过一类问题的变式研究及反复比较，提炼核心问题，总结规律方法，才能认清其问题的
本质及思想方法的实质，达到对知识和思想方法的理解掌握、灵活运用.
例1（2019 年高考数学全国卷Ⅰ理科第 21 题）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮
的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4只时，就停
止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治
愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得﹣1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治
愈则乙药得 1分，甲药得﹣1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0分．甲、乙两种药的治愈率分别记
为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X．
（1）求 X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为 i时，最终
考点命题分析
认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0＝0，p8＝1，pi＝api1﹣+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），其中 a＝
P（X＝﹣1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）．假设 α＝0.5，β＝0.8．
（i）证明：{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；
（ii）求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性．
【解答】（1）解：X的所有可能取值为﹣1，0，1．
P（X＝﹣1）＝（1﹣α）β，P（X＝0）＝αβ+（1﹣α）（1﹣β），P（X＝1）＝α（1﹣β），
∴X的分布列为：
X1﹣ 0 1
P （1﹣α）β αβ+（1﹣α）（1﹣
β）
α（1﹣β）
（2）（i）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，
∴由（1）得，a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1．
因此 pi＝0.4pi1﹣+0.5pi+0.1pi+1（i＝1，2，…，7），
故0.1（pi+1﹣pi）＝0.4（pi﹣pi1﹣），即（pi+1﹣pi）＝4（pi﹣pi1﹣），
又∵p1﹣p0＝p1≠0，∴{pi+1﹣pi}（i＝0，1，2，…，7）为公比为 4，首项为 p1的等比数列；
（ii）解：由（i）可得，
p8＝（p8﹣p7）+（p7﹣p6）+…+（p1﹣p0）+p0，
∵p8＝1，∴p1，
∴P4＝（p4﹣p3）+（p3﹣p2）+（p2﹣p1）+（p1﹣p0）+p0p1．
P4表示最终认为甲药更有效的概率．
由 计 算 结 果 可 以 看 出 ， 在 甲 药 治 愈 率 为 0.5 ， 乙 药 治 愈 率 为 0.8 时 ， 认 为 甲 药 更 有 效 的 概 率 为
，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
该题以科学实验的设计方案为背景，将概率知识与数列的相关内容联系起来，构造了一个考查概率分布列、
概率的意义以及递推数列求通项的创新性综合应用题.围绕该题涉及的内容、情境、知识架构、设问方式以
及问题解决的关键，我们设计了以下变式问题，力求通过这一组问题的解决，探究得出该类问题的本质并
掌握解决此类问题的思想方法.
变式 1某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都
是 ，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下次出现红灯的概率是 ，出现绿灯的概率是 ；若前次出
现绿灯，则下次出现红灯的概率是 ，出现绿灯的概率是 ，记开关第 n次闭合后出现红灯的概率为 Pn.
(Ⅰ)求P2；
(Ⅱ)开关闭合10 次时，出现绿灯的概率是多少?
解答：
(Ⅰ)如果第一次出现红灯,则接着又出现红灯的概率是 ，
如果第一次出现绿灯,则接着出现红灯的概率为 .
∴第二次出现红灯的概率为 ，
(Ⅱ)设第 n次闭合时,出现红灯的概率是 pn,则 ，
设,即,求得 ，
故数列 为等比数列,且公比为 .
再根据首项为 .
故第n次闭合时,出现绿灯的概率是 ，
故开关闭合10 次时,出现绿灯的概率是 .
变式 2A，B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 3的倍数时，则由原掷骰子的人
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