《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》专题30圆锥曲线的取值范围（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题 30 圆锥曲线的取值范围

圆锥曲线部分往往以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长、双曲线

的渐近线等问题.圆锥曲线的综合问题主要有最值问题、参变量范围问题、探究性问题等题型，这些问题充

分体现了数形结合思想，函数与方程思想，主要考查转化与化归能力、推理论证能力、运算求解能力以及

创新意识和应用意识，是高考命题的常见题型和基本问题，本文就几个热点问题做一下总结和分享.

1求离心率的值或者取值范围

圆锥曲线离心率及其取值范围是高考的一个热点，也是难点，这一类问题的处理方法就是准确构建关于基

本量 a，b，c之间的等量关系或者不等关系，题型往往以小题为主，所以在解题时要谨防“小题大做”.

例1已知双曲线的左，右焦点分别为，若双曲线上存在点 P使

，则该双曲线的离心率的取值范围是 .

2以动直线中的参量为变量的定点、定值、取值范围问题

直线与圆锥曲线中涉及的中点问题、垂直问题、弦长问题、斜率问题等，都最终转化为动直线中的变量(如

斜率 k)的等式或不等式来解决.

例2设圆的圆心为 A，直线 l过点 B(1，0)且与 x轴不重合，交圆 A于C，D两点，过

B作AC 的平行线交 AD 于点 E.

(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程；

(Ⅱ)设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交C1于M，N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P，Q两点，求

四边形 MPNQ 面积的取值范围.

例3已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M(2，1)，平行于 OM 的直线

考点命题分析

l在y轴上的截距为 m(m≠0)，交椭圆于 A、B两个不同点.

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)求m的取值范围；

(Ⅲ)求证直线 MA，MB 与x轴始终围成一个等腰三角形.

3过已知曲线上定点的弦的问题

有一类问题，直线过已知曲线上某定点，这种问题的解决又必须得求出另外一点的具体坐标，这时就需要

过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程(或类一元二次方程)，考察判别式后，由韦达定理

结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题.

例4已知点 A，B，C是椭圆上的三点，

其中点是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆的中心 O，且，，如图.

(I)求点 C的坐标及椭圆 E的方程；

(Ⅱ)若椭圆上存在两点 P，Q使得直线 PC 与直线 QC 关于直线对称，求直线 PQ 的斜率.

4.利用“点在曲线上”直接设而不求解决问题

设在二次曲线 mx2+ny2=1 上，即有，两式相减即可得

该式可以看成是，这四个量的组合，

如果设 AB 的中点为，则，由此可以看出与两点坐标的平方差有关的或者与弦的中点、

斜率有关的问题可以采用设点相减来处理.

例5过点 M(1，1)作斜率为的直线与椭圆相交于 A，B两点，若 M是线段 AB 的

中点，则椭圆 C的离心率等于 .

例6：A，B为椭圆任意两点，A点关于 x轴的对称点为 C，若直线 BA 交x轴于点 P，直线 BC 交

x轴于点 Q，探究 OP•OQ 是否为定值.

1．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到该双曲

线的渐近线的距离大于 2，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且右顶点到渐近线的距离与到直

线距离的比值大于 2，则双曲线的离心率范围为（）

A．B．C．D．

3．已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为．过

作圆，其中圆心的坐标为．当时，椭圆离心率的取值范围为（）

A．B．C．D．

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