《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题30圆锥曲线的取值范围（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 30 圆锥曲线的取值范围
圆锥曲线部分往往以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长、双曲线
的渐近线等问题.圆锥曲线的综合问题主要有最值问题、参变量范围问题、探究性问题等题型，这些问题充
分体现了数形结合思想，函数与方程思想，主要考查转化与化归能力、推理论证能力、运算求解能力以及
创新意识和应用意识，是高考命题的常见题型和基本问题，本文就几个热点问题做一下总结和分享.
1求离心率的值或者取值范围
圆锥曲线离心率及其取值范围是高考的一个热点，也是难点，这一类问题的处理方法就是准确构建关于基
本量 a，b，c之间的等量关系或者不等关系，题型往往以小题为主，所以在解题时要谨防“小题大做”.
例1已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，若双曲线上存在点 P使
，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
思路探求:根据正弦定理得 .
由 ，可得 ，所以 .
因为 e>1，所以 ，点 P在双曲线的右支上.
又 ，
解得 .
考点命题分析
因为 (不等式两边不能取等号，否则题中分式中的分母为 0，无意义)，所以 ，即
，解得 .
方法点睛:结合定义考虑几何量之间的大小关系，特别是两个焦点和曲线上的点构成的焦点三角形中的等量
关系.不等关系的建立一般都转化为椭圆或双曲线的几何性质来处理，如椭圆中横、纵坐标的范围
或者 PF2的范围为[a－c，a+c]，双曲线左支上的点到左、右焦点 的距离
，到右顶点 A2的距离 等来构建不等式，当然要注意端点值是否能取到(如
例2)
2以动直线中的参量为变量的定点、定值、取值范围问题
直线与圆锥曲线中涉及的中点问题、垂直问题、弦长问题、斜率问题等，都最终转化为动直线中的变量(如
斜率 k)的等式或不等式来解决.
例2设圆 的圆心为 A，直线 l过点 B(1，0)且与 x轴不重合，交圆 A于C，D两点，过
B作AC 的平行线交 AD 于点 E.
(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程；
(Ⅱ)设点 E的轨迹为曲线 C1，直线 l交C1于M，N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P，Q两点，求
四边形 MPNQ 面积的取值范围.
思路探求:(I)因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故 .
所以 ，即 .
又圆 A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而 ，所以|EA|+|EB|=4.
由题设得 A(－1，0)，B(1，0)，|AB|=2，由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为 .
(Ⅱ)根据斜率是否存在设出直线方程，当直线斜率存在时设其方程为 y=k(x－1)(k≠0)，由根与系数的关系和
弦长公式把面积表示为斜率 k的函数，再求最值.
当l与x轴垂直时，其方程为 x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形 MPNQ 的面积为 12.
当l与x轴不垂直时，设 l的方程为 y=k(x－1) .
由 得 .
则.
所以 .
过点 B(1，0)且与垂直的直线 ，A到m的距离为 ，所
以|PQ|= .
故四边形 MPNQ 的面积 .
综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为 .
例3已知椭圆的中心在原点，焦点在 x轴上，长轴长是短轴长的 2倍且经过点 M(2，1)，平行于 OM 的直线
l在y轴上的截距为 m(m≠0)，交椭圆于 A、B两个不同点.
(I)求椭圆的方程；
(Ⅱ)求m的取值范围；
(Ⅲ)求证直线 MA，MB 与x轴始终围成一个等腰三角形.
思路探求:(I)椭圆的方程为 .
(Ⅱ)因为直线 l平行于 OM，且在 y轴上的截距
为m，又 ，得直线 l的方程为: .
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