《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》专题29解析几何中的定点与定值问题（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题 29 解析几何中的定点与定值问题

定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷 .圆锥曲线的有关定点、定值等综合

性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、

平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地

进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能

力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.

定点问题主要是曲线系(直线系)过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性

质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目(如蒙日圆、阿基米德三角形等).定值问题主要涉及面

积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素 .处理这两大类问

题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，

再证明这个点(值)与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的

变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.

1定点问题

曲线系(直线系)过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或

证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消

参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.

具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明

圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题

时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.

例1椭圆的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 .过F1的直线交椭圆于 A，B两

点，且△ABF2的周长为 8

(I)求椭圆 E的方程；

考点命题分析

(Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究:在坐标平面内是否

存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由.

总结起来，应注意如下几点:

首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，

思路通畅可操作；

其次，找准主元，引入参数，建立各个量间的数量关系，运用消元变形、推理运算等手段证明定点、定值

问题；

再次，要努力突破计算关、心理关，认真仔细计算、准确规范，随时检查，树立信心，只要方向正确就一

算到底；

最后，必须树立数形结合意识，善于把握问题的特定信息，运用对称性、特殊性猜想定点、定值，然后证

明，要仔细分析图中的点、线等关系，挖掘隐含条件，往往能取得出奇制胜的效果.

2定值问题

定值问题与最值问题属同一类问题，都是在一个运动变化过程中，由某个变量的变化引起另一个量的变化

或不变的问题.此类问题的求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系 (如

函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是

求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值.另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多

少，然后进行一般性计算或证明，探索出的定值也可以作为检验结果正确与否的试金石.

例2已知椭圆的离心率为 .过左焦点 F且垂直于长轴的弦长为 .

(I)求椭圆 C的标准方程；

(Ⅱ)点P(m，0)为椭圆 C长轴上的一个动点，过点 P且斜率为的直线 l交椭圆 C于A，B两点，求证:

为定值.

例3已知点是椭圆上一点，分别是椭圆 E的左、右焦点，O是坐标

原点，PF1⊥x轴.

(I)求椭圆 E的方程；

(Ⅱ)设A，B是椭圆上两个动点， (0< <4，且 ≠2).求证:直线 AB 的斜率等于定值.

1．在椭圆上任取一点（不为长轴端点），连结、，并延长

与椭圆分别交于点、两点，已知的周长为 8，面积的最大值为 .

（1）求椭圆的方程；

（2）设坐标原点为，当不是椭圆的顶点时，直线和直线的斜率之积是否为定值？若是定值，

请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.

2．已知椭圆 C：.

（1）求椭圆 C的离心率；

（2）设分别为椭圆 C的左右顶点,点P在椭圆 C上,直线 AP,BP 分别与直线相交于点 M,N.当点

P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论.

3．已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设是四条直线所围成的两个顶点,是椭圆上的任意一点,若

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