《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题29解析几何中的定点与定值问题（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 29 解析几何中的定点与定值问题
定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷 .圆锥曲线的有关定点、定值等综合
性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、
平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地
进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能
力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.
定点问题主要是曲线系(直线系)过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性
质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目(如蒙日圆、阿基米德三角形等).定值问题主要涉及面
积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素 .处理这两大类问
题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，
再证明这个点(值)与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的
变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.
1定点问题
曲线系(直线系)过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或
证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消
参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算.
具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明
圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题
时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.
例1椭圆 的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 .过F1的直线交椭圆于 A，B两
点，且△ABF2的周长为 8
(I)求椭圆 E的方程；
考点命题分析
(Ⅱ)设动直线 l:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究:在坐标平面内是否
存在定点 M，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由.
思路探求 1:本题主要考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量等基础知识，训
练学生的运算求解能力、推理论证能力，以及化归与转化、数形结合、函数与方程、特殊与一般等数学思
想.由动直线及椭圆的对称性知，若定点 M存在，则必在x轴上，条件“以PQ 为直径的圆恒过点 M”即可
翻译为“ ”恒成立.因此，本题的重点在于得出 P，Q两点的坐标，其中点 P的坐标需要联立
直线与椭圆的方程求得.
解法 1:(1)椭圆 E的方程是 .
(Ⅱ)由4m2－12=0，
设 ， 判别 式 ， 化 简得 ，同时有
，易得.
若定点 M存在，则必在x轴上，因此，可设 M(t
，
0)，由得.
由解得 t=1.所以存在定点 M(1，0)，使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.
方法点睛1:本题主要考查椭圆与直线的联立、韦达定理、平面向量等知识.求解的主要步骤:
(1)联立直线方程与椭圆方程，通过判别式△=0，寻求k，m的数量关系；
(2)求得 P，Q两点的坐标，并利用 k，m的数量关系化简；
(3)翻译条件“以PQ 为直径的圆恒过点 M”等价“ ”恒成立，得到恒等式
4t+3=0，即求得定点 M的坐标.
思路探求 2:可以先根据关系 中的 k，m的特殊值猜测结果，再加以证明，遵循从特殊到一
般、先猜想再证明的求解思路.
解 法 2: 同 解 法 1可 得 ， Q(4 ，4k+m). 若 定 点 M存在 ， 则 由 对 称 性 可 知 必在x轴上 ， 取
，得 ，以 PQ 为直径的圆的方程为 ，交x轴于点
.
取，得 ，以 PQ 为直径的圆的方程为 ，交x轴于点
；
所以符合条件的点可能是点 M(1，0)，以下证明它就是满足条件的点.
易知 ，从而 ，即 ，因此
以PQ 为直径的圆恒过点 M.
方法点睛2:在对几何图形特征分析的基础上，先猜想，缩小定点的范围，然后证明，颇有四两拨千斤之效.
但前提还是先要联立方程，得到 k，m的关系 4k2－m2+3=0，然后赋值.
事实上，例 1的背景是椭圆的一个重要性质:动直线 l与椭圆 相切于点 P，与椭圆右
准线相交于点 Q，右焦点为 F，则PF⊥QF.本题即是以此性质为背景命制的一道定点问题.背景不变，换个
命题角度，我们可以得到如下题目，但问题本质仍未改变.
结合题目求解过程，通过分析可以看出，尽管定点、定值问题背景多元，形式多样，但求解方法都有共同
之处，即建立在对几何图形特征分析的基础上，最终回到解析几何的核心方法 (坐标法)上，依托直线与圆
锥曲线的方程联立，翻译题目条件，构造等式或不等式.
总结起来，应注意如下几点:
首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，
思路通畅可操作；
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