《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题28双曲线（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 28 双曲线
双曲线是圆锥曲线的重要组成部分，通过对近几年高考数学全国卷和省市卷的研究发现，高考对于双曲线
的考查多以选择题、填空题为主.题型主要分为两类:一类是基础题，单纯考查双曲线的基本概念和简单几
何性质，考查学生对双曲线基础知识的掌握情况；一类是综合题，表现为双曲线与平面几何的有关知识(如
等边三角形的有关性质、三角形的中位线定理、线段垂直平分线的性质、圆的有关定理等)、向量、不等式、
函数等知识相结合，考查数形结合、化归与转化、方程思想等，同时考查学生的运算求解能力.
在求解策略上，对于基础题可直接套用相对应的公式或运用相关性质，学生要注重对双曲线基础知识的掌
握，加强训练，熟练运用相关公式和性质；对于综合题，基本思想方法是“几何入手，代数解决” .根据题
目给出的条件建立相对应的平面直角坐标系，画出图像，借助图像结合平面几何的知识对题目加以分析，
从而找出问题求解的“钥匙”，最终实现对问题的求解.
1依托方程思想与不等式，突破双曲线基础题
双曲线的基本题型主要考查基本概念和几何性质，通常以求标准方程，求未知数的具体数值或取值范围的
题目为主.求解方法主要是分析已知条件，结合双曲线的概念性质建立相应的方程组.涉及取值范围的题目
则需要借助不等式来求解.
例1双曲线 的一条渐近线方程为 y=x，则 a= .
思路探求:本题考查双曲线的简单几何性质，考查方程思想和学生的运算求解能力，由条件易知 ，
解得 a=5.
方法点睛:这是一道基础题，学生只要把握好双曲线不同标准方程对应的不同渐近线方程，即可正确求解.
类似的题目还有 2017 年高考数学北京卷文科第 10 题，这类题型主要考查学生对双曲线的基本概念和双曲
线基础知识的掌握情况，如 a，b，c之间的关系、离心率、渐近线等.
考点命题分析
例2已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n的取值范围是( )
A．B．C．D．
思路探求:本题主要考查双曲线的简单几何性质及求解不等式，考查学生的运算求解能力.
解法 1:根据双曲线的标准方程的概念，由 可得 ，从而－m2<n<3m2.
由已知条件和双曲线的定义可知 ，解得 m2=1 所以 1<n<3，即 n的取值
范围是(－1，3).
解法 2: 同解法 1有m2=1.所以双曲线的方程变为 ，根据双曲线的定义，则 或
，由此解得 n的取值范围是 .
方法点睛:本题求双曲线方程中未知数的取值范围，需要注意双曲线的焦距是 2c而不是 c，这点容易出错.
学生容易根据焦距求出 m2=1，但是如何根据 m2=1 找出 n的不等关系，则体现学生对双曲线定义的理解和
把握.
2从“几何人手，代数解决”，突破双曲线高考综合题
双曲线的综合题主要分为两种，一种是双曲线和椭圆或抛物线的综合题，一种是双曲线和平面几何的有关
知识、函数、向量或不等式相结合的综合题.求解双曲线的综合题的中心思想就是“几何入手，代数解决”，
大致分为三步:一是根据已知条件建立平面直角坐标系画出图像，使问题变得直观、清晰；二是“以形助
数”，分析图像蕴含的几何信息，得出结论与条件之间的数量关系；三是“以数解形”，根据分析的结果
运用代数的方法列式解题.
例3已知双曲线 的右顶点为 A，以 A为圆心，b为半径作圆A，圆 A与双曲线 C
的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则 C的离心率为 .
思路探求:本题主要考查双曲线与圆的性质，数形结合、化归转化思想和运算求解能力 .如图所示，可作
AP⊥MN，点 A的坐标为(a，0)，AM=AN=b，而 AP⊥AM，所以∠PAN=30°，根据距离公式，点 A(a，0)到
渐近线 的距离为 .
在Rt△PAN 中， ，代入计算可得 a2=3b2，即 ，由 a，b，c的关系 可得
c=2b，所以 .
方法点睛:本题是求双曲线的离心率，中等难度.双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到
出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下几点:①求解渐近线，直接把双曲线后面的 1换成0即可；②双
曲线的焦点到渐近线的距离是 b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是 ，与此同时，要结合图形适当加以
转化，方能顺利解决问题.
例4已知 A，B为双曲线 E的左、右顶点，点 M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°，则 E的离
心率为( )
A．B．2 C．D．
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