《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题27抛物线（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 27 抛物线
1专题综述
本专题主要内容包括抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.纵观近几年的高考试题可知，抛物线的考
题有客观题(一般 5分)，也有解答题(10 分或 12 分或 14 分或 15 分)，难度中等偏上.其中，客观题中突出考
查抛物线的定义、标准方程及其基本性质的应用，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关
系、弦长公式、导数的几何意义等.
高考数学试题(含文科卷和理科卷，其中江苏卷、浙江卷和上海文理合卷 )中，与抛物线有关的试题共有 11
道，基本上是直线与抛物线的位置的综合问题，或抛物线与其他知识 (如椭圆、双曲线等)的交汇问题；考
题以抛物线为载体考查了数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等数学素养，考查了数形结合、函数
与方程、转化与化归等数学思想方法，以及灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
2范例赏析
2.1 抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质
抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线
的距离)进行等量转化.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为
点到准线的距离，以简化运算.
解决圆锥曲线问题的主要方法是坐标法，即建立平面直角坐标系，解决几何问题 .通过建立坐标系，根据抛
物线的定义，可得抛物线的标准方程.求抛物线的标准方程时要“先定位，后定量”.所谓“定位”就是确
定抛物线焦点所在的坐标轴是 x轴还是 y轴、是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；所
谓“定量”就是根据题目的条件求出方程中参数 p的值，从而得到抛物线的标准方程.
有了抛物线的方程，则可以利用代数的方法研究抛物线的几何性质(如范围、对称性、顶点、焦半径公式
等).
例1已知 F是抛物线 C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM 的延长线交 y轴于点 N.若M为FN 的中点，则|
FN|= .
考点命题分析
2.2 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系问题是解析几何的核心内容之一，是高考考查的热点 .由于此类问题不仅涉及几何
知识，也涉及代数知识，综合性强，对学生能力要求较高.
从几何角度来看，直线与抛物线的公共点个数有三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.
从代数角度看，联立直线和抛物线的方程构成的方程组的解的个数分别为 0个、1个和 2个.因此直线与抛
物线的位置关系的研究方法可通过代数法(即解方程组)来研究，因为方程组解的个数和交点个数是一致的.
但需要注意的是，与抛物线的对称轴平行或重合的直线与抛物线有且只有一个公共点，但并不是相切，而
是相交.
直线与抛物线的位置关系的综合问题主要有以下几类:① 直线与抛物线的公共点个数问题，应注意数形结
合；②弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；③垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，
设而不求，简化运算；④抛物线的切线问题，应结合导数的几何意义或联立方程消元后利用判别式处理.
例2设A，B为曲线 上两点，A与B的横坐标之和为 4.
(I)求直线 AB 的斜率；
(Ⅱ)设M为曲线 C上一点，C在M处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求直线 AB 的方程.
2.3 抛物线的焦点弦问题
在抛物线的所有相交弦中，有一类比较特殊，那就是过焦点的弦，我们称之为抛物线的焦点弦 .一般地，若
AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦，设 ，则可以证明以下的结论:①
，② (为直线 AB 的倾斜角)；③ 为定值 ④以 AB 为直径的圆与抛物线的
准线相切；⑤以AF 或BF 为直径的圆与 y轴相切.
例3已知 F为抛物线 C:y2=4x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与C交于 A，B两点，直线
l2与C交于 D，E两点，则|AB|+DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
2.4 与抛物线有关的最值或范围问题
解决与抛物线有关的范围或最值问题主要有两种方法:一是建立关于目标的函数式，进而转化为函数的值域
或最值问题处理，再利用求函数最值的方法(如导数、基本不等式等)解决，其关键在于合理引入变元(如斜
率、点的坐标)，难点在于选择合适的方法求范围或最值；二是建立关于目标的不等式，通过解不等式获得
变量的范围或最值.
例4如图，已知抛物线 x2=y，点 ， ，抛物线上的点 P(x，y) .过点 B作直线 AP
的垂线，垂足为Q.
(I)求直线 AP 斜率的取值范围；
(Ⅱ)求 的最大值.
3复习建议
复习不是简单的重复，研究复习课教什么、怎么教以及为什么这样教，对于高三复习有着至关重要的作用.
如何在有限的时间内取得较好的成效，笔者给出如下的复习建议.
3.1 回归教材，夯实基础，适当变式
教材中的习题大多蕴含着丰富的背景.事实上，很多高考试题来源于教材，因此以教材为素材组织高考复习
是提高学生成绩的有效途径.高三复习阶段要以教材为主，充分发挥其导向作用，既让学生跳出题海，又利
于学生巩固基础知识，掌握基本方法，深化数学的本质，激发学生的问题意识，培养学生的核心素养 .教师
应在深入研究教材的基础上充分理解教材的编写意图，在教学中创设问题链情境，通过对问题进行变式探
究，探索问题的引申、推广和拓展，开展高考复习中的数学研究性学习，培养学生举一反三的能力.
3.2 突出通法，优化解法，规范解题
对于高查的抛物线的热点问题，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固定，教师要以教材例题
为模板，以教材习题为模型，淡化解题技巧教学，强调通性通法，规范学生解题步骤，能做出合理的算法
途径设计，培养学生严谨推理的数学思维；训练学生基本问题运算过关，突破“想得出，算不出、算不
对”的瓶颈.解析几何中的运算是教学的重点和难点，教学应重视训练学生的数学运算能力，注重解题优化
的意识.
3.3 渗透思想，培养素养，提升能力
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