《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题27抛物线（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 27 抛物线
1专题综述
本专题主要内容包括抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.纵观近几年的高考试题可知，抛物线的考
题有客观题(一般 5分)，也有解答题(10 分或 12 分或 14 分或 15 分)，难度中等偏上.其中，客观题中突出考
查抛物线的定义、标准方程及其基本性质的应用，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关
系、弦长公式、导数的几何意义等.
高考数学试题(含文科卷和理科卷，其中江苏卷、浙江卷和上海文理合卷 )中，与抛物线有关的试题共有 11
道，基本上是直线与抛物线的位置的综合问题，或抛物线与其他知识 (如椭圆、双曲线等)的交汇问题；考
题以抛物线为载体考查了数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等数学素养，考查了数形结合、函数
与方程、转化与化归等数学思想方法，以及灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力.
2范例赏析
2.1 抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质
抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线
的距离)进行等量转化.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为
点到准线的距离，以简化运算.
解决圆锥曲线问题的主要方法是坐标法，即建立平面直角坐标系，解决几何问题 .通过建立坐标系，根据抛
物线的定义，可得抛物线的标准方程.求抛物线的标准方程时要“先定位，后定量”.所谓“定位”就是确
定抛物线焦点所在的坐标轴是 x轴还是 y轴、是正半轴还是负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；所
谓“定量”就是根据题目的条件求出方程中参数 p的值，从而得到抛物线的标准方程.
有了抛物线的方程，则可以利用代数的方法研究抛物线的几何性质(如范围、对称性、顶点、焦半径公式
等).
例1已知 F是抛物线 C:y2=8x的焦点，M是C上一点，FM 的延长线交 y轴于点 N.若M为FN 的中点，则|
FN|= .
考点命题分析
思路探求:由于点 M在抛物线 C上，因此可用抛物线的定义或抛物线的方程来解决此题.
解法 1:因为抛物线 C的方程为 y2=8x，所以 F(2，0)，设 ，则 ，即 .
因为 M在抛物线上，所以 ，即 ，所以 .
解法 2:因为 F(2，0)，设 ，且 M为FN 的中点，则 x1=1，又 M在抛物线上，则由抛物线
的定义知 ，所以|FN|=2|FM|=6.
方法点睛:解法 1利用抛物线上点的坐标是抛物线方程的解这一代数特征，从纯代数角度进行运算解法 2则
利用抛物线的定义将 MF 转化为点 M到准线的距离，简化了计算过程，体现了转化与化归思想和数形结合
思想的应用.如果抛物线问题中涉及抛物线的焦点和准线，又与距离有关，那么就可考虑用抛物线定义来处
理.
2.2 直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线的位置关系问题是解析几何的核心内容之一，是高考考查的热点 .由于此类问题不仅涉及几何
知识，也涉及代数知识，综合性强，对学生能力要求较高.
从几何角度来看，直线与抛物线的公共点个数有三类:无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点.
从代数角度看，联立直线和抛物线的方程构成的方程组的解的个数分别为 0个、1个和 2个.因此直线与抛
物线的位置关系的研究方法可通过代数法(即解方程组)来研究，因为方程组解的个数和交点个数是一致的.
但需要注意的是，与抛物线的对称轴平行或重合的直线与抛物线有且只有一个公共点，但并不是相切，而
是相交.
直线与抛物线的位置关系的综合问题主要有以下几类:①直线与抛物线的公共点个数问题，应注意数形结
合；②弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；③垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，
设而不求，简化运算；④抛物线的切线问题，应结合导数的几何意义或联立方程消元后利用判别式处理.
例2设A，B为曲线 上两点，A与B的横坐标之和为 4.
(I)求直线 AB 的斜率；
(Ⅱ)设M为曲线 C上一点，C在M处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求直线 AB 的方程.
思路探求:(I)欲求直线 AB 的斜率，可先设出 ，由直线斜率公式结合点在抛物线
上，可将直线 AB 的斜 率 转 为 A，B的横坐标之和的表 示 形式，即直线 AB 的斜 率 k=
.
(Ⅱ)先根据导数几何意义得 M点坐标，再根据直角三角形性质得|AB|=2|MN|(AB 的中点为 N)，设出直线 AB
的方程与抛物线方程联立，利用两点间距离公式以及弦长公式列方程求解.
由 ，得 .设 ，由题设知 ，解得 x3=2，于是 M(2，1).设直线 AB 的方程为 y=x+m，
故线段AB 的中点为 N(2，2+m)，.
将y=x+m代入得x2－4x－4m=0. 当 △ =16(m+1)>0 ， 即 m>－1时 ， ， 从 而
.
由题设知|AB|=2|MN|，即 2(m+1)，解得 m=7.所以直线 AB 的方程为 y=x+7.
方法点睛:直线和抛物线的位置关系问题，一般转化为直线方程与抛物线方程组成的方程组问题，利用韦达
定理或求根公式处理.涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数关系，设而不求计算弦长；涉及垂直关系
时也往往利用根与系数关系、设而不求简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用抛物线的定义求解；
涉及中点弦问题往往利用点差法.
2.3 抛物线的焦点弦问题
在抛物线的所有相交弦中，有一类比较特殊，那就是过焦点的弦，我们称之为抛物线的焦点弦 .一般地，若
AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦，设 ，则可以证明以下的结论:①
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