《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题26椭圆（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 26 椭圆
1专题综述
椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，
同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查
大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的
位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用
代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合
命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运
用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了
较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.
2考点剖析
2.1 椭圆方程及其几何性质
求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问 .这要求学生能熟练
地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到
事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不
同的结果表述，前者是方程，后者是图形.
例1设圆 的圆心为 A，直线 l过点 B(1，0)且与 x轴不重合，交圆 A于C，D两点，过
B作AC 的平行线交 AD 于点 E.证明 为定值，并写出点 E的轨迹方程.
思路探究:妙用几何性质，因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC.
所以 ，故 .
考点命题分析
又圆 A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而 ，所以|EA|+|EB|=4.
由题设得 A(－1，0)，B(1，0)， ，由椭圆的定义可得点 E的轨迹方程为: .
方法点睛:求椭圆方程的常用方法，(1)直接法，直接利用条件建立 x，y之间的关系或 F(x，y)=0；(2)待定系
数法，已知所求曲线的类型，求曲线方程一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；
(3)定义法，先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代
入转移法，动点 P(x，y)依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先
用x，y的代数式表示，再代入已知曲线得出要求的轨迹方程.
例2已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，且以线段为直径的圆与直线 bx-
ay+2ab=0 相切，则C的离心率为( )
A．B．C．D．
思路探求:以线段为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a，圆的方程为 ，直线 bx-ay+2ab=0
与圆相切，所以圆心到直线的距 离 等于半径，即，整理可得 ，即a2=
，
从而 ，椭圆的离心率，故选A.
方法点睛:椭圆的几何性质是高考命题不可或缺的考点，将椭圆的几何性质与其他知识，如切线、斜率等融
合、交汇，常常命制出玲珑别致，又不失新颖的客观题，而且时常作为客观题的压轴题 .一般求离心率e的
方法有:(1)整理出椭圆的标准方程后可直接求出 a，c，再利用离心率公式 来求解；(2)在焦点三角形中
利用椭圆第一定义得 求解；(3)根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造 a，c
的等式(特别是齐二次式)，进而得到关于 e的一元方程，从而解得离心率e
2.2 直线与椭圆的位置关系
在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其
二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题 .直
线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程
常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长
常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方
法.
例3过椭圆 内一点 M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.
思路探求 1:直线和椭圆相交求中点弦所在的直线方程.将直线方程代入椭圆方程，整理后利用韦达定理，求
出直线的斜率.
解 法 1: 设 所 求 直 线 的 方 程 为 y－1=k(x－2) ， 将 其 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 得
.
又设直线与椭圆的交点为 ，则是方程的两个根，于是 .
又M为AB 的中点，所以 ，解得 ，故所求直线方程为 x+2y－4=0.
思路探求 2:利用点差法，根据椭圆弦中点的性质求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程.
解法 2:设 ，则，
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