《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》专题25直线与圆的方程（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题 25 直线与圆的方程

直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能

力要求较高.

纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点 :一是每年必考，

但未必在全国卷 I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017 年全国卷 I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与

圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量 .二是

在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016 年全国卷理科是个例外，有一小一大两道题).

三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与

圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到

直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法 .四是就

文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科 .综合以

上分析，我们在复习备考中要给予高度重视.

高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、

品味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性.

1方程问题

求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线

方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法:

(1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径.

(2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解.

例1已知抛物线 C:y2=2x，过点(2，0)的直线 l交C于A，B两点，圆 M是以线段 AB 为直径的圆.

(I)证明:坐标原点 O在圆 M上；

(Ⅱ)设圆 M过点 P(4，－2)，求直线 l与圆 M的方程.

2弦长问题

但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少 .小题中

考点命题分析

大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题，大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因

此，弦长问题举足轻重.

解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径所构成的直角

三角形中运用勾股定理进行计算.

例2已知直线 l:mx+y+3m－=0 与圆交于 A，B两点，过 A，B分别作l的垂线与 x轴交于

C，D两点，若，则|CD|= .

3最值与范围问题

最值问题是范围问题的特例，因此，研究的方法、手段基本相同.在处理直线与圆的方程的最值与范围问题

时，主要有以下两种途径:一是利用圆的几何性质直接判断，如过圆内一个定点的弦长的最值与范围问题，

就可以结合图形利用弦长与弦心距之间的关系进行判断；二是构建目标函数的解析式，然后利用函数或基

本不等式研究最值与范围.另外，在特定的情境中，利用“三角形两边之差小于第三边”来研究最值与范围

问题可以取到意想不到的效果.

例3已知圆 M:(x+1)2+y2=1，圆 N:(x－1)2+y2=9，动圆P与圆 M外切并且与圆 N内切，圆心 P的轨迹为曲线

(I)求C的方程；

(Ⅱ)l是与圆 P，圆 M都相切的一条直线，与曲线C交于 A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

例4设圆 x2+y2+2x－15=0 的圆心为 A，直线 l过点 B(1，0)且与 x轴不重合，交圆 A于C，D两点，过 B作

AC 的平行线交 AD 于点 E.

(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点 E的轨迹方程；

(Ⅱ)设点 E的轨迹为曲线C1，直线 l交C1于M，N两点，过 B且与 l垂直的直线与圆 A交于 P，Q两点，求

四边形MPNQ 面积的取值范围.

4定值与定点问题

直线与圆的定值与定点问题虽不是高考的热点，但一旦出现则必然是试卷的压轴题，如 2017 年高考数学全

国卷Ⅲ文科第20 题，就考查了直线与圆的定值问题，试题综合性较强，难度较大

例5在直角坐标系 xOy 中，曲线y=x2+mx－2与x轴交于 A，B两点，点 C的坐标为(0，1).当m变化时，解

答下列问题:

(I)能否出现 AC⊥BC 的情况?说明理由；

(Ⅱ)证明过 A，B，C三点的圆在 y轴上截得的弦长为定值.

例6在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三

点的圆记为C.问圆 C是否经过定点(其坐标与 b无关)?请证明你的结论.

5复习建议

本章的复习首先要注重基础，对基础知识、基本题型要掌握好.求直线的方程基本用待定系数法，复习时应

注意直线的方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系，应特别注意直线斜率的存在与不存在两

种情况；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题、弦长问题都是高考考查的热点，求圆的方程、

圆心坐标和圆的半径的常用方法是待定系数法及配方法，要熟练掌握，还应特别注意充分运用直线与圆的

几何性质以简化运算.

特别需要指出的是，绝大多数和直线与圆的方程有关的高考题，都会涉及弦长问题，因此，在高考复习备

考中，强化弦长问题的训练显得尤为重要.

1．圆的圆心到直线的距离为 2，则（）

A．B．C．D．2

2．已知直线，直线，若则（）

A．或B．

C．D．或

3．圆与直线的位置关系为(　　)

A．相离B．相切

C．相交D．以上都有可能

4．已知圆截直线所得弦的长度为 ,则实数的值为( )

A．B．C．D．

5．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（）

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