《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题25直线与圆的方程（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 25 直线与圆的方程
直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能
力要求较高.
纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点 :一是每年必考，
但未必在全国卷 I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017 年全国卷 I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与
圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量 .二是
在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016 年全国卷理科是个例外，有一小一大两道题).
三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与
圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到
直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法 .四是就
文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科 .综合以
上分析，我们在复习备考中要给予高度重视.
高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、
品味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性.
1方程问题
求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线
方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法:
(1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径.
(2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解.
例1已知抛物线 C:y2=2x，过点(2，0)的直线 l交C于A，B两点，圆 M是以线段 AB 为直径的圆.
(I)证明:坐标原点 O在圆 M上；
(Ⅱ)设圆 M过点 P(4，－2)，求直线 l与圆 M的方程.
思路探求:(I)要证明坐标原点 O在圆 M上，我们容易想到先求出圆 M的方程，再看原点坐标是否符合该方
考点命题分析
程.由于直线 l是动直线，要想求出圆 M的方程并不容易，于是，我们再联想到“圆的直径所对的圆周角为
直角”这一性质.因此，只要证明 就可以了，但要注意对直线 l的斜率进行讨论，具体过程如下:
(i)当直线 l与x轴垂直时，直线 l的方程为 x=2，代入抛物线方程求得y=±2，故此时圆的半径为 2，易知坐
标原点在圆 M上.
(ii)当直线 l与x轴不垂直时，设直线 l的方程为 y=k(x－2)，联立抛物线方程消去 x得到ky2－2y－4k=0.设
，则y1+y2=.又，所以
.
所以 OA⊥OB，又AB 为直径，所以坐标原点 O在圆 M上.
(Ⅱ)要求圆 M的方程，我们容易想到运用待定系数法，注意到圆 M过点 P(4，－2)和原点 O(0，0)，因此，
我们选择设圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0，然后将 P，O两点的坐标代入圆M方程得到两个关于系数
D，E，F的方程，但是，还有一个关于系数 D，E，F的方程如何得到呢?注意到条件“圆 M是以线段 AB
为直径”，于是想到把这一条件转化为 ，因此，找到了解决问题的突破口，具体过程如下:
(1)当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x=2，容易得圆M的方程为(x－2)2+y2=4，但 P的坐标(4，－2)
不满足方程，因此，不合题意.
(2) 当 直 线 l的 斜 率 存在时， 设 直 线 l的 方 程 为 y=k(x－2) ， 由 (1) 知
，
.
于是由 ，得，展开并将上面的式子代入，整理得到k2+k－
2=0，解得k=－2或k=1.
当k=－2时，直线 l:2x+y－4=0，由圆心 在直线 l上，可得2D+E+8=0，又(0，0)，(4，－2)两点在
圆上，所以有 F=0，2D－E+10=0.
于是解得，E=1，F=0.故圆M的方程为 x2+y2－x+y=0；
当k=1 时，直线 l:x－y－2=0，由圆心 在直线 l上，可得－D+E－4=0.又(0，0)，(4，－2)两点在圆
上，所以有 F=0，2D－E+10=0，于是解得D=－6，E=－2，F=0.所以圆 M的方程为 x2+y2－6x－2y=0.
方法点睛:用待定系数法求圆的方程，可概括为三步曲一一设、二列、三求解.第一步，要合理地设出圆的
方程，一般地，若条件与圆心有关，则宜将方程设为标准方程，否则就设为一般方程；第二步，要正确地
列出关于系数 D，E，F的一个三元一次方程组(或关于 a，b，r的方程组)；第三步，要熟练地解方程组.本
例中，从条件“线段 AB 是圆 M的直径”出发，先求出直线 l的方程，再由圆心 在直线 l上，从
而求出关于 D，E，F的第三个方程，这是本题的难点，也是这道高考题的妙处所在.
特别地，不少学生选择圆的一般方程求解这道题时，大多中途受阻，一个重要的原因就是未能充分挖掘
“圆心 在直线 l上”这一隐含条件，这也是本文选择用待定系数法解决这道题的目的所在.
2弦长问题
但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少.小题中
大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题，大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因
此，弦长问题举足轻重.
解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径所构成的直角
三角形中运用勾股定理进行计算.
例2已知直线 l:mx+y+3m－=0 与圆 交于 A，B两点，过 A，B分别作 l的垂线与 x轴交于
C，D两点，若，则|CD|= .
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