《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题24立体几何中的综合问题（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 24 立体几何中的综合问题
1问题提出
立体几何是高中数学主干知识之一，在全国卷中，一般是选择题、填空题、解答题各一题，共计 22 分.考
查的知识点包括:空间几何体的结构、直观图和三视图；空间几何体的表面积、侧面积、体积、棱长、点面
距离和空间角的计算；与平面相关的四个公理和一个定理；与平行与垂直有关的八个定理 .突出考查数学抽
象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.
全国卷对立体几何的考查，以“三个观点”统一组织材料，一是“定型”考查，通过三视图、直观图来识
图，用图作为空间想象能力考查的开始；二是“定性”考查，以判定定理和性质定理为核心，证明直线与
直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，进行思维发散考查；三是“定量”考查，以空间角、表面积、
体积和高的计算进行思维聚合考查.试题坚持以空间想象能力立意，选择题和填空题注重几何图形构图的想
象和辨识，解答题以垂直(平行)论证为核心，展开角的计算(理科)、体积和高的计算(文科)，注重空间向量
在处理空间角过程中的作用，体现几何问题代数化的思想(理科).高考对立体几何知识的考查，有将立体几
何知识体系向其他知识体系过渡综合考查的趋势，与导数、不等式、三角函数等知识综合考查，同时注重
对数学文化的渗透.立体几何知识是考查考生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的重要
载体.基于此，笔者从以下几个方面展开本专题的综合复习.
2通过识图、变图想图、构图、用图，培养空间想象能力
2.1 以三视图为载体的问题
三视图是用平面图形来表征空间几何体的结构特征，凸显降维思想，即三维变二维，在现实世界中有着广
泛的应用，如零件、建筑物的图纸，等等.因此，三视图是全国卷每年必考的内容.三视图所表征的几何体
是什么，具有怎样的结构特征，如何作出所表示的几何体的直观图是难点.
例1如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱
中，最长的棱的长度为( )
考点命题分析
A．B．C．6 D．4
2.2 以图形折叠为载体的问题
折叠问题是立体几何中的常见问题，在折叠过程中，哪些要素保持不变，以及折叠到终止状态时所形成的
几何体结构特征，是解决折叠问题的关键要素.
例2如图所示，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5cm，该纸片上的等边△ABC 的中心为 O.D，E，F为圆 O上
的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以
BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化
时，所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
3通过思辨论证训练，培养学生的逻辑推理能力
立体几何内容是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体.通过对直线与直线、直线与平面、平面
与平面的位置关系的证明，着力培养学生逻辑推理能力.通过寻找位置关系成立的要素，往往通过分析方法，
即要证明什么，只要证明什么，是一个复杂过程，但只要脉络清晰，执果索因，渐行渐近，逐步完成，就
能顺利解答.
例3如图所示，四棱锥中，底面 ABCD 是菱形， ，PA=PD，F为AD 的中点，PD⊥BF.
(I)求证:AD⊥PB；
(Ⅱ)若E在线段BC 上，且，能否在棱 PC 上找到一点 G，使平面 DEG⊥平面 ABCD?并证明你的
结论.
4通过向量应用，解决空间角的计算问题，培养学生的数学运算能力
空间向量是用代数方法解决空间几何问题的重要方法，也有利于培养学生的数形结合思想，降低思维难度，
提高解题效率，有效地实现了几何问题的代数化，这也是高等几何中的重要方法.
例4如图，已知多面体 ABCDE 中，AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD
的中点.
(I)求证:AF⊥平面 CDE；
(Ⅱ)求二面角 CAB－E的大小.
5复习建议
(1)通过对近几年高考试题的分析，辨明立体几何知识考查方向.利用问题梳理知识，在问题解答过程中，熟
悉解题方法.通过典例分析，练习训练，激发学生回忆，提取知识，激活沉睡在脑海中知识块，使知识板块
之间相互运动、摩擦，达到相互融合，将立体几何知识与函数、不等式、三角等知识联系起来，形成知识
网络.
(2)学习之道在于练、在于悟.对本专题全面系统地复习后，趁热打铁，让学生自己画出立体几何专题的思维
导图.改变惯用的先梳理知识点，再例题讲解、练习巩固的复习模式.让学生在做中悟，悟出自己的问题和
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