《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》专题23立体几何中的表面积与体积（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题 23 立体几何中的表面积与体积

综观近几年的全国卷，空间几何体的表面积与体积计算是常考内容，一般文、理科各考一道小题(5 分)和文

科一道解答题其中的一个小问(6 分).文科较理科更偏重于几何体的表面积与体积计算.再进一步研究相关的

试题，不难看出，对几何体表面积与体积的考查，已由原来的简单几何体的直接套用公式，逐步演变为三

视图或折叠图或柱体、锥体、台体和球等相结合的组合体的表面积与体积计算，难度在增大，而且这种演

化的趋势依然存在.所以，笔者预计后续几年的高考中，对这部分内容的考查仍然会延续以上的命题思路与

特点，围绕三视图、折叠图及非规则组合体方面会进一步探索，创新命题设计 .因此，我们在复习备考中，

首先要加强研究，注意总结规律和方法，尤其是通性通法；其次要强化训练，熟练掌握和运用这些通性通

法，做到以不变应万变，提高学生应对此类问题的能力和水平.

1以三视图为载体的几何体表面积与体积计算

用三视图呈现空间几何体的结构特征及度量关系，打破了以往直接给出空间几何体的直观图及相关数据进

行计算的传统模式，化立体为平面，加大了几何体的空间想象难度，对学生的空间想象、模型构建及运算

求解等提出了较高要求.

例1某多面体的三视图如图 1所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边

长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )

A.10 B.12 C.14 D.16

变式 1如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面

将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )

考点命题分析

A．B．C．D．

2与球有关的几何体的表面积与体积计算

球是一个非常完美的几何体，自身有很好的对称性.因此，从球体本身就可以挖掘出许多几何关系和度量计

算进行问题设计.此外，由于球自身的完美性质，人们常常将它与其他简单的几何体柱、锥、台等，通过内

切或外接的方式组合成新的几何体，使其能够更加深入地考查空间几何关系与度量计算 .因此，球也是高考

立体几何命题的一个重要资源.

例2已知三棱锥的所有顶点都在球 O的球面上， SC 是球 O的直径.若平面 SCA⊥平面

SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥SABC 的体积为 9，则球 O的表面积为 .

例3已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

A．B．C．D．

变式 2在球面上有四个点 P，A，B，C，如果PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=1，则这个球的

表面积是 .

3与折叠有关的几何体表面积与体积计算

平面图形的折叠与空间图形的展开是立体几何的两个重要问题，是立体几何与平面几何问题相互转化的集

中体现，是考查学生空间想象力较好的方式，也是高考命题常见的形式 .折叠问题类似于三视图，它对于学

生的空间想象及作图能力有较高要求.

例4如图所示，菱形ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点 O，点 E，F分别在AD，CD 上，AE=CF，EF 交BD

于点 H，将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置.

(I)证明:AC⊥HD'；

(Ⅱ)若，求五棱锥D'－ABCFE 的体积.

变式 3正△ABC 的边长为 a，沿BC 的平行线 PQ 折叠，使平面 A1PQ⊥平面 BCQP，求四棱锥的棱A1B取得

最小值时，四棱锥A1－BCQP 的体积.

1．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）

A．B．C．1 D．2

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