《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题23立体几何中的表面积与体积（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 23 立体几何中的表面积与体积
综观近几年的全国卷，空间几何体的表面积与体积计算是常考内容，一般文、理科各考一道小题(5 分)和文
科一道解答题其中的一个小问(6 分).文科较理科更偏重于几何体的表面积与体积计算.再进一步研究相关的
试题，不难看出，对几何体表面积与体积的考查，已由原来的简单几何体的直接套用公式，逐步演变为三
视图或折叠图或柱体、锥体、台体和球等相结合的组合体的表面积与体积计算，难度在增大，而且这种演
化的趋势依然存在.所以，笔者预计后续几年的高考中，对这部分内容的考查仍然会延续以上的命题思路与
特点，围绕三视图、折叠图及非规则组合体方面会进一步探索，创新命题设计 .因此，我们在复习备考中，
首先要加强研究，注意总结规律和方法，尤其是通性通法；其次要强化训练，熟练掌握和运用这些通性通
法，做到以不变应万变，提高学生应对此类问题的能力和水平.
1以三视图为载体的几何体表面积与体积计算
用三视图呈现空间几何体的结构特征及度量关系，打破了以往直接给出空间几何体的直观图及相关数据进
行计算的传统模式，化立体为平面，加大了几何体的空间想象难度，对学生的空间想象、模型构建及运算
求解等提出了较高要求.
例1某多面体的三视图如图 1所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边
长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A.10 B.12 C.14 D.16
思路探求:该题重点考查学生对三视图的分析能力，并能从三视图中发现几何体各元素之间的位置关系和数
量关系，构建出空间直观图，进而求得几何体的有关面积.所以，如何正确地根据三视图还原出空间直观图
是解决问题的关键.本题中所给三视图的正视图、侧视图由两部分组成，可推测直观图是组合体.又由俯视
考点命题分析
图只有一个图形，推测直观图是上下组合结构的.再由正视图、侧视图上半部分和俯视图均为等腰直角三角
形，可推断直观图上半部分是三棱锥；由正视图、侧视图下半部分是正方形和俯视图是等腰直角三角形，
可推断直观图下半部分是直三柱.因此可以断定，该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，并且各
面内只有两个侧面是相同的梯形，面积之和为 .故选 B
变式 1如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面
将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．B．C．D．
思路探求:三视图是由一个平面将一个圆柱截去一部分后所得几何体的三视图，其还原为实际形状时，是一
个上下组合的几何体.下半部分是一个底面半径为3、高为 4的圆柱，其体积 ；上半
部分是一个底面半径为3、高为 6的圆柱的一半，其体积 ，故该组合体的体积
.故选 B
方法点睛:解决以三视图为载体的几何体度量计算问题，关键是要根据三视图准确还原出几何体的空间直观
图.要做到准确还原，我们需要抓住三视图与直观图的对应关系，首先确定空间几何体是简单几何体 (或简
单几何体上的切割、挖补)还是组合体，是多面体还是旋转体；然后再根据“长对正，宽相等，高平齐”的
对应法则确定几何体中各个量的大小；最后准确还原出空间几何体的直观图.
从例 1和变式 1的分析过程，我们会发现，对于非规则几何体(或组合体)的三视图的还原过程，其中简单
几何体是作为一个整体构件来运用的，非规则几何体是由简单的几何体按一定方式组合而成的 .因此，熟练
掌握简单几何体柱、锥、台、球等结构特征以及三视图与直观图之间的对应联系，是解决非规则几何体三
视图问题的前提和基础.因此，在教学中教师要引导学生加强简单几何体各种位置的三视图与直观图的识图 、
画图、用图等基本功的训练.
2与球有关的几何体的表面积与体积计算
球是一个非常完美的几何体，自身有很好的对称性.因此，从球体本身就可以挖掘出许多几何关系和度量计
算进行问题设计.此外，由于球自身的完美性质，人们常常将它与其他简单的几何体柱、锥、台等，通过内
切或外接的方式组合成新的几何体，使其能够更加深入地考查空间几何关系与度量计算 .因此，球也是高考
立体几何命题的一个重要资源.
例2已知三棱锥 的 所 有 顶点 都 在 球 O的 球 面 上 ， SC 是 球 O的 直 径.若 平 面 SCA⊥平 面
SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥SABC 的体积为 9，则球 O的表面积为 .
思路探求:本题中三棱锥内接于球，并且三棱锥的一条棱就是球的直径，而这条直径将球半径与三棱锥的有
关几何量联系起来，建立了数量关系，从而求得问题的解.具体解题过程比较简单，联结OA，OB.因为
SA=AC，SB=BC，所以 OA⊥SC，OB⊥SC.又因为平面 SCA⊥平面 SCB，所以 OA⊥平面 SBC.
设
，所以 ，解得 r=3，所以球的表面积为 .
例3已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．B．C．D．
思路探求:球与圆柱均是旋转体，而旋转体有固有的对称性.当圆柱内接于球时，过圆柱轴的平面去截圆柱
与球，形成的圆柱轴截面和过球心的截面圆构成圆内接矩形，并且矩形的对角线就是球的直径，矩形的高
就是圆柱的高，矩形的底边就是圆柱底面的直径.如此就将球与圆柱两个简单几何体的主要几何量化归到一
个 平 面 上 ， 易 知 通过简 单 的 平 面 几 何 知 识 ， 不 难 求 得 圆柱底面 半 径，圆柱 的 体 积 为 V=
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