《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题22立体几何中的线面关系（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 22 立体几何中的线面关系
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支.通过立体几何学习，使学生直观认识
和理解空间点、线、面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定；了解一些简单几何体
的表面积与体积的计算方法；用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算的方法认识和探索空间图形的
性质，建立空间观念；用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系.
因此，提升直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学运算素养，是立体几何课程目标的基本要求，也是高考
数学中立体几何部分考查的重要要求.
1立体几何知识结构框图
高中新课程的“立体几何”教材知识按照“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”的认识过程进行
编排，涉及的数学思想主要有数形结合思想、符号化与形式化的思想、转化与化归思想等，涉及的一般科
学方法有观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象等.
其知识结构框图如图 1和图 2.
空间中平行关系之间的转化，如图 3.
空间中垂直关系之间的转化，如图 4.
考点命题分析
2立体几何“线面关系”高考命题的方向
立体几何是中学数学的重要内容，它在培养和考查学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学运算等素
养方面，有着独特的地位.高考立体几何“线面关系”考查的重点和热点有:空间几何体的结构及其三视图
(江苏省不考三视图)；空间直线与平面的位置关系的判断和推证；空间向量在立体几何中的应用 (空间角和
距离的考查等).
在命题形式上，遵循稳中有变，不断创新(如动态变化、存在性问题、探索性问题等)；在求解方法上，突
出多角度观察，多方位思考，充分彰显空间三维问题平面化、几何问题代数化和立体几何问题向量化的特
色.
2.1 三视图(展开图)和直观图的“互化”
空间几何体的三视图(侧面展开图)和直观图侧重于考查空间想象能力，要求学生能够根据题设条件想象并
作出正确的平面直观图形，根据平面直观图形直观想象出空间几何体的结构，并正确分析出空间几何体中
基本元素及其相关关系，进而对空间图形进行分解和组合.
例1某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A．B．C．D．1
思路探求:这是一个“不规则”三棱锥，将三棱锥的三个顶点放置在长方体模型中去尝试，验证是否与三视
图相符.从三视图想象出三棱锥在长方体中的直观图，并直观的作出长方体中三棱锥的结构.如图所示.故选
A.
解题反思:(1)三视图需想象从正面、侧面和下面三个角度“竖”起来与平行光线垂直的投影面，长方体具
有现成的面可供选取，故可以考虑把一些空间几何体置于长方体(或正方体)模型中并利用割补法构造出所
要的几何体，打开思路，简化问题.这也符合教材中“点、线、面之间的位置关系是借助长方体模型，并以
长方体为主线，使学生在直观感知的基础上认识空间点、线、面之间的位置关系”这一设计意图.
(2)立体几何最简单的几何图形是四面体，任何一个四面体都可以看成是某多面体的一个“零件”.这个多面
体优先考虑的是长方体(或正方体).
例2如图所示，圆形纸片的圆心为 O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形 FABC 的中心为 OD，E，F为
圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以
BC，CA，AB 为折痕，折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变
化时，所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
思路探求:此题考查学生的逆向思维，三维空间图形问题平面化处理是解决立体几何问题的最常见方法，这
里是图形的翻折变换(侧面展开)，需要实现平面与立体的互化，构建立体几何的模型，建立体积表达式的
函数模型，结合函数思想求出最值.
过程简析:如图所示，联结DO 交BC 于点 G，
设D，E，F重合于 S点，正三角形的边长为 x(0<x< )，则 .
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