《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题21数列中的转化与化归（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 21 数列中的转化与化归
数列是高中数学的重要组成部分，同时也是高考重点考查的内容之一.纵观全国各地的高考试卷，数列相关
的解答题大都出现在压轴题或倒数第二题的位置，承载着体现考试的区分度、选拔优秀学生的功能 .从题目
的综合性看，数列问题常与函数、方程、不等式等知识交汇.对近几年各地高考试卷数列解答题的研究发现，
数列问题的综合性有从显性的知识点之间的交汇向隐性的方法、技能、思想融合的趋势 .特别是当仅仅运用
数列本身的知识解决问题比较困难时，我们可以考虑将题目的难点转化化归为其他问题来解决，运用化归
和等价转化思想来帮助我们化繁为简、化难为易.
1两种基本数列之间的转化
等差数列和等比数列是两种最为基本的数列，它们的各种性质之间有着很强的类比性，所以它们之间存在
相互转化的可能.等差数列的计算是线性的，等比数列的计算是指数性，所以当等比数列的运算很繁杂时，
可以考虑将等比数列转化为等差数列来运算.
例1若公比不为 1的正项等比数列{an}满足 ，数列{bn}满足 bn=，则{bn}
的前 n项和 Sn为 .
思路探求:本题的基本方法是设基本量 a1，q代入计算，学生在处理时会感到困难.因为给出的条件是 n个项
的乘积，不妨将等比数列转化为等差数列来解决.若{an}是正项等比数列，则数列 (m>0 且m≠1)为
等差数列.另外本题也可以将等比数列的前 n项积类比等差数列的前 n项和，利用类似于倒序相加的求法来
处理.
解法 1:在 两边取对数，则有 .
因 为 {an}是正项等比数列，所以 为等差数列，故有
考点命题分析
.
所以 为等比数列， .
解法 2: ，两式相乘得 ，所以 ，下面同解法 1.
方法点睛:正项等比数列通过取对数转化为等差数列是处理等比数列问题的重要思路之一，也是降低运算量
的有效途径.这种转化还体现在等差数列的通项求和等问题的处理方法上，可以向等比数列迁移.同样的等
差数列也可转化为等比数列，具体来说就是:数列{bn}为等差数列，则数列 为等比数列.
2存在性问题向函数零点问题的转化与化归
因为数列是一种特殊的函数，所以它的很多问题可以通过函数的性质加以解决，诸如单调性、最值等等 .近
几年的高考题中呈现出一种新的考查趋势:在等差数列、等比数列的存在性问题中，利用基本量构建高次方
程和函数来解决问题.
例2设 是各项为正数且公差为 d(d≠0)的等差数列.
(I)证明:依次成等比数列；
(Ⅱ)是否存在 a1，d，使得 依次构成等比数列?并说明理由.
思路探求:直接考虑第(Ⅱ)问，要证明 依次构成等比数列，等价于方程组 有解.但是
代入基本量之后会出现二元高次方程，这时的基本思路有两种:一种是二元转化为一元，一种是高次转化为
低次，由于学生对于高次方程的求解不擅长，所以高次方程的有解问题又可以化归为函数的零点问题来解
决.
解:
解法 1:假设存在满足条件的 a1，d，
从而 .
若满足题意须使 ，即.
即，
化简得 .
因为 d≠0，故 ，不妨设 ，从而转化为 ，
由t2+3t+1=0 得t2=－3t－1，代入 得 ，化简得到 2t－
1=0，即.
易见不满足方程 ，故方程组无解，即不存在满足条件的 .
解 法 2: 由 方 程 组 ， 不 妨 令，
恒成立， 所 以 f(t)在 区 间 (0 ，+∞) 内递 增 ， 所以 f(t)的 零 点 最 多 只有 一个 .又
f(0)<0，f(1)=11>0，所以零点 t0∈(0，1).又由 t2+3t+1=0 可知方程的解均为负解，所以方程组无解，不存在
满足条件的 .
方法点睛:解法 1其实就是通过组合(打包)将二元方程转化为一元方程来找到方程组的解.解高次方程最好的
办法就是不断地降幂迭代，这一点在高中阶段接触不多，应有所拓展.解法 2体现了导数在解决高次函数及
高次方程的独特优势，特别是学生在对高次方程求解不是很擅长的情况下，转化为函数问题结合零点判定
定理不失为一个好的路径.
3恒成立问题向最值问题转化
数列中的恒成立问题有多种类型，如果是关于等式的问题，可以转化为方程组或恒等方程来解决 .如果是关
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