《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题20数列的递推关系与通项（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 20 数列的递推关系与通项
1专题综述
数列是高中数学的重要内容，也是高等数学的基础 .数列的两个重要特征量是通项 an与前 n项和 Sn.而Sn又
是数列{Sn}的通项，从这个意义上讲，Sn也是通项.通项是表示数列的重要形式，明确了通项，就清晰地把
握了数列.利用递推关系求数列的通项问题，一直受到高考命题者的青睐.递推公式可以通过给出数列的第 1
项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式
子叫作这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分:一是递推关系，二是初始
条件，二者缺一不可.通过近几年全国及各省自主命题的高考试卷可以看出，本专题内容的试题，难度适中 ；
本专题内容主要难点是数学情境的变化及题目条件的有效转化.需要指出的是，2017 年某些省份自主命题
的高考试卷中数列的“压轴题”多以函数与不等式综合为主.全国卷的解答题虽然没有出现数列的递推关系
与通项的问题，但选择题的最后一题，对数列通项的考查背景较为新颖，尤其对学生的思维层次要求较高 .
专题复习备考中我们的做法是:以教材为基点，以辨析递推关系为主线，深度概括通项求解方法，从而有效
提升学生的理性思维能力，促进学生数学核心素养水平的达成.
2范例分析
2.1 体验常规题的多题一解
高三复习“课时紧张，任务繁重”，很多学生陷入大量作业的泥潭，他们往往关注最终的结果，对于解题
过程缺少关注，解题后的反思更无从谈起.教师如果能依据典型的高考试题引导学生反思，进行多题一解，
会对正确选择解题方法有较为深刻的认识.
例1Sn为数列{an}的前 n项和.已知 an>0，.
(I)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设 ，求数列{bn}的前 n项和.
考点命题分析
2.2 整合认识辅助数列方法解决的各类递推关系
引入辅助数列，借助转化与化归的思想，巧妙地使得一些复杂的数列转换为常见的等差数列、等比数列，
或把递推关系进一步变得简单明了，从而达到化难为易、化繁为简的目的，以求得数列的通项公式.
例2已知数列{an}满足 a1=1，.
证明:是等比数列，并求{an}的通项公式.
2.3 体验递推关系与函数、不等式的横向综合
高考试卷中经常以数列为载体考查函数与不等式的综合问题.这需要学生通过综合分析情境中的递推关系，
发现已知和未知间的内在联系，并运用知识、方法等解决综合问题.这类问题考查了学生的理性思维，分析
问题、解决问题的能力，我们引导学生对解决问题的过程进行评价和反思，就会有效提高学生的解题能力.
例3已知数列{an}满足 且 .证明: .
例4已知数列{xn}满足: .证明:当n∈N*时，
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) ；
(Ⅲ) .
1．数列 中， ， ，则 （　　）
A．32 B．62 C．63 D．64
2．如图所示，九连环是中国的一种古老的智力游戏，它环环相扣，趣味无穷．它主要由九个圆环及框架
组成，每个圆环都连有一个直杆，各直杆在后一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固
定，圆环在框架上可以解下或者套上．九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上．
最新模拟题强化
将第 个圆环解下最少需要移动的次数记为（ 且 ），已知 ， ，且通
过该规则可得，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（ ）
A．7 B．16 C．19 D．21
3．已知数列 满足： ， ， 为数列 的前 项和，则
（ ）
A．3 B．4. C．1 D．0
4．已知数列 的前 项和为 ，且，则等于
A．B．1C．2D．4
5．在数列 中，若 ，则该数列的前 50 项之和是（ ）
A．18 B．8 C．9 D．4
6．数列 中，已知 且 则
A．19 B．21 C．99 D．101
7．已知数列 满足： ， ，则 （）
A．B．C．D．
8．已知数列 满足 ，其首项 ，若数列 是单调递增数列，则实数 的取
值范围是（ ）
A．B．C．D．
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