《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题20数列的递推关系与通项（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 20 数列的递推关系与通项
1专题综述
数列是高中数学的重要内容，也是高等数学的基础 .数列的两个重要特征量是通项 an与前 n项和 Sn.而Sn又
是数列{Sn}的通项，从这个意义上讲，Sn也是通项.通项是表示数列的重要形式，明确了通项，就清晰地把
握了数列.利用递推关系求数列的通项问题，一直受到高考命题者的青睐.递推公式可以通过给出数列的第 1
项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式
子叫作这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分:一是递推关系，二是初始
条件，二者缺一不可.通过近几年全国及各省自主命题的高考试卷可以看出，本专题内容的试题，难度适中 ；
本专题内容主要难点是数学情境的变化及题目条件的有效转化.需要指出的是，2017 年某些省份自主命题
的高考试卷中数列的“压轴题”多以函数与不等式综合为主.全国卷的解答题虽然没有出现数列的递推关系
与通项的问题，但选择题的最后一题，对数列通项的考查背景较为新颖，尤其对学生的思维层次要求较高 .
专题复习备考中我们的做法是:以教材为基点，以辨析递推关系为主线，深度概括通项求解方法，从而有效
提升学生的理性思维能力，促进学生数学核心素养水平的达成.
2范例分析
2.1 体验常规题的多题一解
高三复习“课时紧张，任务繁重”，很多学生陷入大量作业的泥潭，他们往往关注最终的结果，对于解题
过程缺少关注，解题后的反思更无从谈起.教师如果能依据典型的高考试题引导学生反思，进行多题一解，
会对正确选择解题方法有较为深刻的认识.
例1Sn为数列{an}的前 n项和.已知 an>0，.
(I)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设 ，求数列{bn}的前 n项和.
考点命题分析
思路探求:本题是锻炼学生运用基础知识的典型素材.让学生先观察题目条件，回答下列4个问题:①
有哪些特征量?② 将条件转化为 an还是Sn的等式?③依据什么知识进行转化?④如何转
化?在4个问题的追问中，激活学生已学习的相关知识，并能准确的使用.尤其是 an和Sn的关系、求和的相
应方法等作为重要的基础知识，不能有漏洞.
(I)由，①
可得 ②
①－②得 .
又因为an>0，所以 .
当n=1 时， ，即，解得a1=3 或a1=－1(舍去)，所以{an}是首项为 3，公
差为2的等差数列，通项公式为 an=2n+1.
(Ⅱ)由an=2n+1 可得.
记数列{bn}的前 n项和为 Tn，则
.
有的学生会由题目条件得到 ，也可以解答问题得到 ，此时注意
n≥2，同样可以得到{an}是首项为 3，公差为2的等差数列.解题完成后，教师可给出不同的题目.
解答类似的问题时，仍然辅以例 1中谈及的 4个问题追问，让学生在不同情境中感受完备知识的运用，并
重点思考将条件转化为 Sn的等式的依据.通过形异质同的不同题目的解答感受解题中的思维相通之处，提升
理性思维能力，有效促进学生数学核心素养水平的达成.
2.2 整合认识辅助数列方法解决的各类递推关系
引入辅助数列，借助转化与化归的思想，巧妙地使得一些复杂的数列转换为常见的等差数列、等比数列，
或把递推关系进一步变得简单明了，从而达到化难为易、化繁为简的目的，以求得数列的通项公式.
例2已知数列{an}满足 a1=1，.
证明:是等比数列，并求{an}的通项公式.
思路探求:从题目的求证入手思考，数列 的第 n项是什么?第n+1 项是什么?题目条件中有无与
和 关联的递推关系?容易想到应该对 进行变换，变换的目的就是要出现 与
.于 是 容 易 想 到在等 式 两 边 同 时加，得到 ， 即
，从而解得.
如果直接从例 2的问题入手证明行吗?也就是说证明 常数，能行得通吗?这由等比数列的定义容易想
到.学生到此应该对求数列通项公式的方法进行总结和概括:如果将推广为一般形式
an+1=can+d呢?如 果 是 aan+1+can+d=0 呢?另 外 ，还有 其 他 的 方 法 吗?能否 代 入计 算 得 出
后，进行归纳猜想证明?哪种方法更简捷?这些反思和发问能让学生深入思考，发现解
决问题方法的本质，做到举一反三、触类旁通.
为了整合对辅助数列方法的认知，可以回归教材，重新感受教材中“迭加法”“累乘法” .在得到等差数列、
等比数列通项公式的过程中，对于 ， ，
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