《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题16基本不等式的应用（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 16 基本不等式的应用
1综述
1.1 高考定位
高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题
类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题 .通过不等式的基本
知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间
的融会贯通，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的
过程中，提高学生的数学素质及创新意识.
1.2 应考策略
掌握高考考查基本不等式的常见题型，主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值，
或积的最大值，或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题；二是利用基本不等式比较两个
实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等；三是利用基本不等式构造不等式；四是将一个实际问题构
造成函数模型，利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时，要满足的三个条件，即一正，二定，
三相等，而且求解时要逐一检验.
1.3 知识解读
从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0 这个基本的数量不等式对 x进行替换得到的；其次，反
映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系；再次，基本不等式有很好的几何意义，用它可以很
好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此，基本不等式的内容对学生厘清数学知识内部联系与
解决实际问题很有好处.
从知识的作用角度看.首先，由基本不等式可以推出许多重要的不等式，例如:当a>0，b>0 时，有
等；其次，基本不等式是研究其他不等式的重要基础；再次，证明基本不等
式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此，基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.
从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培
考点命题分析
养，有利于学生对数学知识的整合，如:几何与代数的整合，信息技术与数学的整合等.
1.4 常用变式
两 边 同 加
.
两边同除以 a，.
两边同除以 b，.
两边同除以 ab，.
用－a代替 a，.
用 代替 a，b，.
1.5 应用方式
“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境，观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算
的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系，之后才能规范、合理、正确地应用“基本不等式”解决
相应的问题，即直接规范正确使用，间接变形合理使用，构造关系变式使用.
利用基本不等式 时，要注意“正、定、等”三要素，正，即 x，y都是正数；定，即不等式另一
边为定值；等，即当且仅当 x=y时取等号.利用基本不等式 时，要注意“积定和最大，和定积最
小”这一口诀，并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意，一般不要出现两次不等号，若出现，则要
看两次等号成立的条件是否同时成立.
2问题精解
2.1 利用基本不等式求最值
要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值；构造基本不等式满足的条件求最值.
2.1.1 运用换元变换，简化条件关系
例1求函数 的最小值.
思路探求:如果利用基本不等式 ，发现 ，即
x2+3=2 不成立，故不能直接运用基本不等式求解.
解法 1:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件，可以通过换元，转化为相应的函数的最值 .
可以设t=x2+3(t≥3)，将“ ”的最小值问题转化为“求函数 ， 的最小值”.
而函数 在 内是单调递增函数，故当t=3 时，函数 取得最小值 .
解法 2:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值需要的“定值”和“相等”就必须通过变形，变换
出满足条件的形式结构.
可以将“ ”变形为“ ”，
当且仅当 t=3 时，等号成立，故的最小值是 .
解法 3:如果解题时无法满足直接应用基本不等式求最值的条件，还可以运用函数的最值概念求最小值.
恒成立，当且仅当 x2=0 时，等号成立，故最小值是 .
方法点睛:基本不等式在求函数最值时具有重要价值，要注意构造应用基本不等式求最值的条件，同时要特
别注意基本不等式应用的条件是否具备，特别是等号能否取到，在条件不满足的情况下是否能够求解或者
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