《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题15谈含参的不等式恒成立或存在性成立中的参数范围（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 15 谈含参的不等式恒成立或存在性成立中的参数范围
应用导数研究函数性质的问题中，含参不等式恒成立或存在性成立中的参数范围是常见的探究性问题，这
些问题或是分类讨论，也可能表面上是分类讨论，但实际上是逻辑问题，它涉及全称命题、特称命题及充
要条件的关系.这类试题关键要判断含参的不等式恒成立或存在性成立的类型，才能确定解题的方法和转化
目标.下面例说常见的一类问题.
1探究充分性证明必要性的题型
例1已知函数 ，且 f(x)≤0
(I)当x>0 时，求证:，当且仅当 x=1 时等号成立；
(Ⅱ)求m的取值范围.
思路探求:第(I)问是为第(Ⅱ)做知识准备的它是解题中常用的铺垫手法，它在本题中的作用是将超越不等式
转化为整式不等式，快速找到 f(x)≤0 的充分条件.
解题首先考虑定义域和怎样等价转化盘活试题的问题，当 x>0 时，f(x)≤0 恒成立，它等价于两个且命题 p:
当0<x≤1 时，2xlnx+m(x2－1)≥0 恒成立和 q:当x≥1 时，2xlnx+m(x2－1)≤0，其实命题 p，q是等价命题，最终
就是求命题的充要条件.
解:f(x)的定义域为(0，+∞)，令 h(x)=2xlnx+m(x2－1)，当 0<x≤1 时，h(x)≥0；
当x≥1 时，h(x)≤0.因为 ，所以“当 0<x≤1 时，h(x)≥0”等价于“当 x≥1 时，h(x)≤0”，即当
0<x≤1 时，h(x)≥0.求m的取值范围.
(i)(探究充分性).
当m+1≤0 ， 即 m≤－1时，当 0<x≤1 时 ， h'(x)≤0 ，h(x)在区间(0 ，1] 内单调递减，且 h(1)=0 ，所以
考点命题分析
h(x)≥h(1)=0，即“m≤－1”是“任意 x∈(0，1]，h(x)≥0 恒成立”的充分条件.
(ii)当－1<m<0 时，h'(x)=2lnx+2+2mx=g(x)，且 g(1)=2(1+m)>0
，当 时，g'(x)>0.
所以 g(x)在区间 内是增函数，g(x)>g(1)>0，即当 时，h'(x)>0，h(x)>h(1)=0.
所以存在 ，使得 ，并且 .
(ⅲ)当m≥0 时，存在 ， .
由(ⅱ)、(ⅲ)知，“m≤－1”也是“任意 x∈(0，1]，h(x)≥0，恒成立”的必要条件.
综上所述，m的取值范围是(－∞，－1]
方法点睛:条件 A:m≤－1，条件 B:当x∈(0，1]时，h(x)≥0 恒成立.
充分性 ；其必要性 ，
其中 又可拆分成－1<m<0 和m≥0，
主要考虑要得到 的结论是否需要应用导数这个工具.
这类问题不适合分离参量，即便是当 0<x<1 时， 恒成立，右边函数 取最小值恰好在间
断点 x=1，使用洛比达法则 .但需要两个支撑条件，即 F(x)在区间(0，1)内单调递
减和极限保号性定理，而仅 F(x)在区间(0，1)内单调递减也是不易求证的.
2分离参数的题型
例2已知函数 f(x)=xlnx－2，.
(I)若函数 的零点 ，求 n的值；
(Ⅱ)令g(x)=f(x)－(k－1)x+3+k，若当 x>1，g(x)>0 时，求整数 k的最大值.
思路探求:第(Ⅱ)问由 g(x)>0 可以分离参数 ，但要求函数 的最小值，需要应用(I)
的结论做铺垫.
解:(I)u(x)的定义域为(0，+∞)，u'(x)=x－1，
当x∈(0，1)时，u'(x)<0；当 x∈(1，+∞)时，u'(x)>0.
所以 u(x)在区间(0，1)内递减，在区间(1，+∞)内递增.
当x→0 时，u(x)→+∞，u(1)=－2，所以 u(x)在区间(0，1)内存在一个零点，此时 n=0；
又u(4)=1－ln4<0，u(5)=2－ln5>0，所以 u(x)在区间(4，5)内存在一个零点，此时 n=4.
综上所述，n=0 或n=4.
(Ⅱ) x+1－k(x－1)，
当x>1 时 ， g(x)>0 恒 成 立 ， 等 价 于 在 区 间 (1 ，+∞) 内 恒 成 立 ， 令 ， 则
.
由(I)知，存在 ，使得 .
并且当 时，F'(x)<0；当 时，F'(x)>0.
所以 F(x)在区间 内递减，在区间(x0，+∞)内递增，于是 ，
由于 ，所以 k≤3.故k的最大整数值为 3.
方法点睛:通过分离参数 k与变量 x，得到的新函数 F(x)在区间(1，+∞)内有意义，并且新的函数 F(x)的最值
能求出来(最值不能通过极限所求)，另外注意 F(x)与x不存在隐函数关系.
例:函数 存在零点，求 a的取值范围.
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