《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题14一元二次不等式（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 14 一元二次不等式
纵观全国各地高考试题，单纯求解一元二次不等式的问题不多.但由于一元二次不等式与一元二次方程、一
元二次函数联系紧密，因此高考命题一般将其综合到集合、函数、数列、直线与圆锥曲线以及导数等试题
中，而且试题难度跨度也很大，有必要对一元二次不等式做专题复习.本文从含参的一元二次不等式的解法、
恒成立问题、存在(或有)整数解问题、恒成立与存在性混合问题等方面进行设计，试图抛砖引玉，对高三
的复习有所帮助.
1直接求解一元二次不等式型
求解含参数的一元二次不等式，是学生出错率较高的题型，因为分类讨论始终是学生的薄弱环节，而在函
数试题中，往往含有对分类讨论能力的考查，因此在复习中既要教授学生解题要领，又要让学生将其强化，
以期取得突破.
例1解关于 x的不等式
思路探求:由于二次函数 f(x)=ax2－(a+1)x+1 的二次项系数为字母，因此要先对其符号进行讨论，显然 0是
分界点.再结合判别式的符号，知 1也是分界点.于是讨论分为 a<0，a=0，0<a<1，a=1，a>1 五种情形展开.
解:当a=0 时，原不等式可化为－x+1>0，所以原不等式的解集为{x|x<1}
当a≠0 时，判别式△=(a+1)2－4a=(a－1)2.
(1)当a=1 时，判别式△=0，原不等式可化为 x2－2x+1>0，即(x－1)2>0，所以原不等式的解集为{x|x≠1}.
(2)当a<0 时，原不等式可化为 ，此时 ，所以原不等式的解集为 .
(3)当0<a<1 时，原不等式可化为 ，此时 ，所以原不等式的解集 .
(4)当a>1 时，原不等式可化为 ，此时 ，所以原不等式的解集为 .
考点命题分析
方法点睛:处理含参的一元二次不等式的关键在于分类标准的确定，可分三步，①看二次项的系数是否含参
数；②计算判别式的值；③求实数根，比较其大小.同时要充分利用一元二次不等式与一元二次函数图像间
的关系.
2化归为一元二次函数(或方程)型
一元二次不等式恒成立、存在(或有)整数解、恒成立与存在性混合等问题在全国各地的高考、模考及竞赛
中时常出现，而且往往是难题.一般地，把此类问题转化为一元二次函数(或方程)是一个突破口，会起到
“柳暗花明”的效果.
2.1 恒成立问题
例2若x∈[－2，2]时，不等式 x2+ax+3－a≥0 恒成立，求 a的取值范围.
解法 1:令f(x)=x2+ax+3－a，则 f(x)= ，设 f(x)在区间[－2，2]上的最小值为 g(a).
(1)当 ，即 a>4 时，g(a)=f(－2)=7－3a≥0，解得 .又a>4，故 a不存在.
(2)当 ，即 4≤a≤4 时，g(a)= ，解得－6≤a<2.又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.
(3)当 ，即 a<－4时，g(a)=f(2)=7+a≥0，解得 a≥－7
又a<－4，所以－7≤a<－4.
综上可得，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}
解法 2:令f(x)=x2+ax+3－a，于是有
(1)由△=a2－4(3－a)≤0，可得－6≤a≤2
(2)由 ，可得－7≤a<－6.
(3)由 ，可得 a不存在.
综上可得，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}
解法 3:原不等式可化为 a(x－1)≥－(x2+3)
(1)当x=1 时，原不等式显然成立.
(2)当1<x≤2 时，原不等式可化为 a≥，
而函数 f(x)= 在区间(1，2]内单调递增，故 ，所以 a≥－7.
(3)当－2≤x<1 时，原不等式可化为 a≤，
而函数 在区间[－2，－1)内单调递减，在区间[－1，1)内单调递增，故 f(－
1)=2，则 a≤2.
综上可得，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}
方法点睛:解法 1、解法 2的共同点是把一元二次不等式化归为一元二次函数，然后讨论其在给定区间上的
最值，讨论的对象是参数 a，最后得到的解是三种情形的并集.解法 1的特点是以对称轴与给定区间的位置
关系为讨论标准，而解法 2的特点是以判别式的符号为讨论标准，两种方法既有相似，又各有特色.而解法
3运用的是分离参数法，讨论的对象是 x，分离参数后，对另一边求最值，最后得到的解是三种情形的交集.
变式:若a∈[－2，2]时，不等式 x2+ax+3－a≥0 恒成立，求 x的取值范围.
思路探求:本题将式子x2+ax+3－a看作变量 a的一次函数，即 f(a)=a(x－1)+x2+3，由于 a在区间[－2，2]上，
故其图像是一条线段，所以只需 f(－2)≥0 且f(2)≥0 即可，得出解为 x=－1.
2.2 存在(或有)整数解问题
例3关于 x的不等式 x2－ax+2a<0 的解集中恰有2个整数，则实数 a的取值范围是 .
解法 1:设f(x)=x2－ax+2a，判别式△=a2－8a>0，所以 a<0 或a>8.
(1)当a>8 时，对称轴为 .
又f(4)=16－2a<0，故有 ，得 .
(2)当a<0 时，对称轴为 .
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