《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题12解三角形（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 12 解三角形
“解三角形”考点既是初中解直角三角形内容的直接延伸，也是三角函数和平面向量知识考查的重要载体 ，
同时也是解决三角形中的计算问题以及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值 .从考试大纲
来看，各地区的考试大纲中对此内容都做了明确的要求，属于高考必考内容.
1基础知识
问题 1这些年，我们一起学过几类三角形?各自有哪些性质?
问题 2三角形面积公式知多少?
三角形作为重要的平面几何研究对象，让学生回顾三角形的研究思路，有利于培养学生的系统思维 .从定性
(相等、不等、对称性等)到定量(面积、勾股定理、相似、解三角形等)地展开研究.对于问题 1，引导学生从
边的关系(三角形三边的不等式关系)、角的定理、射影定理)三个方面认识三角形中蕴含的基本方程或不等
式 ； 对 于 问 题 2， 中 学 阶 段 熟 知 的 两 种 计 算 公 式 ， 一 是 底 乘 以 高 除 以 2， 二 是 两 边 及 其 夹 角 (
)，可以根据学情适当补充其他的三角形面积公式.概括起来，本专题的
基础知识就是三组公式(正弦定理、余弦定理、面积公式)，通过问题导学，激活知识，构建知识间的前后
联系.
2基本方法
高考对解三角形的考查重点是考生对基本公式的理解和应用以及运算求解能力.
题组一(边角互化)
在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.
1－1已知 ，证明: .
考点命题分析
1－2已知 ，证明:A=2B
1－3已知 ，求角 A的大小.
1－4已知 a=2，且 ，求角 A的大小.
正弦定理、余弦定理实现了三角形边角几何关系的代数化，开启了用代数方法研究三角形的新思路，同时
也是三角形边角转化的有力工具.遇到边角关系式，基本处理策略就是“化边为角或化角为边”，到底是统
一成边(代数恒等变形)，还是统一成角(三角恒等变换)，一般来说都是可以实现的，学生可以根据题目的设
问进行适当选择，实现优化解题.
思路探求:
1－1化边为角， ，通分，再使用三角恒等变换可得 .
1－2化边为角， ，此时再利用 消去 C，进而可得
，所以 A=2B.
1－3遇正切就要“化切为弦”，再结合正弦定理，得 .在△ABC 中，
，
即 ，又 ，
所以 ，又 ，故 .
1－4将 中的 2用a替换，再化角为边，即可得(a+b)(a－b)=(c－b)c，整
理得 ，所以 ，又 ，故 .
题组二(公式的综合运用)
2－1若 ，△ABC 的面积为 ，△ABC 的周长.
2－2已知 A=2B，若△ABC 的面积 ，求角 A的大小.
2－3已知△ABC 的面积为 ，若 ，求△ABC 的周长.
2－4已知 ，求△ABC 的周长.
公式、定理的变化多，学生对公式、定理做不到灵活使用，具体来说就是学生在公式的逆用、变形等方面
能力不足.一道题如果需要用到两个(或三个)定理(或公式)，学生就会感到难度较大，不知道该选择哪个公
式解题，导致解题过程中出现思维短路.
思路探求:
2－1，所以 bc=8.又根据余弦定理可知 ，
进而 ，所以 ，即 ，
故.
2－2从面积公式入手， ，所以 ，
化边为角得 ，又 A=2B，所以 ，即 .
进而可知 或 ，结合 A=2B与A+B+C=π，可求得 或 .
2－3首先要选择恰当的面积公式， 化边为角得， ，
结合题设条件 自然联想公式 ，
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