《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题11三角恒等变换（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 11 三角恒等变换
1三角恒等变换的本质决定了高考的定位
三角恒等变换与代数变换一样，本质是“变其形不变其质”.三角恒等变换的对象是三角函数式，变换的实
质是恒等变换.三角函数变换对提升学生逻辑推理能力、数学运算能力有促进作用.在历年的高考中，三角
恒等变换有时单独考查，更多是与三角函数图像和性质、解三角形结合考查，主要考查变换的本质，凸显
其工具性.一般此类题在解答题第一题或靠前的位置，能否顺利解决对学生考场心态变化影响很大.
2三角恒等变换的高考定位决定了复习目标
三角恒等变换高考题的定位:(1)求值(角)(给角求值，给值求值，给值求角)；(2)三角函数图像和性质心、画
函数图像等)；(3)解三角形(求边、角、最值、证明问题).以三角恒等变换为工具，考查学生观察、分析、比
较、联想、逻辑推理、运算求解、直观想象等能力和素养.高考定位决定了复习目标，学会根据所要求解的
问题对三角函数式进行合理变换，需明确以下思维流程:
从思维层面上说，首先明确观察的对象(三角函数式)、观察的角度(角的差别、三角函数名称差别、次数差
别、结构差别)，重点是分析所求问题与已知之间的差别，然后以三角恒等变换公式为基础，灵活运用三角
恒等变换的常用思维策略，解决问题.
3三角恒等变换的复习目标决定思维的策略
3.1 理清三角恒等变换公式的内在逻辑，树立变元与换元的意识
三角恒等变换公式的内在逻辑和其中蕴含的换元思想对学生思维发展和准确应用公式都有重要作用 .学习三
考点命题分析
角恒等变换较有效的方法是教师让学生从最基础的公式 开始推导，由学
生自己推出后面的公式，然后让学生分析这些公式间的关系，建构公式体系 .再通过换元的例子，让学生理
解公式中的 可以用任意有意义的实数代替.
3.2 抓住变换的“主角”—角，分析角的范围和角之间的关系
从函数概念角度考虑:三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点.对于一个角，我们要分析
它的范围，对于不同的角，我们就要分析它们间的关系.这是数学研究的基本思维.
例1若 ，则 ( )
A．B．C．D．
思路探求:具体分析过程如图
可得 .
例2若 ，则 .
思路探求:
解法 1，按照两角差的正切展开得到关于 的一元一次方程，然后求解 的值为 .
解 法 2: 已 知 角 ， 所 求 角 ， 两 者 之 间 的 关 系 是 什 么 ?得 到 以 下 求 解 思 路
.
我们关注角的几个角度:已知角与所求角之间的互补、互余关系；角之间进行和、差、乘积运算后是否得到
所求角；角与特殊角进行运算得到什么角?
例3已知 是方程 6x2－5x+1=0 的两个根， ，求 .
思路探求:求角的方法，先求角的一种三角函数值；再确定角的范围.本题显然可求出
，又，则 .
或 ，对不对?
我 们 要 看已 知 条 件 能 推 出 ， 所 以 隐含 ， ， 则
，所以 .
因此，在求三角函数值时要特别注意角的范围.判断角的范围的方法有:①三角函数值的正负；②利用三角
函数单调性与特殊角比较三角函数值的大小.
3.3 观察式子的结构结构和目标决定变换的方向和方法
三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问
题选择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直观能力，就像一些学生看到一个函数解析式就能够联
想到函数的性质(对称性、过定点，函数值正负区间，单调性等)，这是学生需要逐步掌握的能力.
例4已知函数 .
(I)求 的值；
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
思路探求:第(Ⅱ)问根据求解目标，一般是把函数式化为 的形式，观察 f(x)的解析式，
由 能想到哪个公式?由 能想到哪个公式?通常运用哪个
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