《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题09三角函数的性质（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 09 三角函数的性质
三角函数是一类重要的基本初等函数，它既是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问
题的工具，因此，三角函数的性质是全国各地高考数学的重点内容.从考纲要求看，要求理解正弦函数、余
弦函数在区间 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x轴的交点等)，理解正切函数在区间
内的单调性，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实
际问题.从考试题型看，既考小题，也考大题，小题侧重综合，多与图像联系在一起；大题难度下降，由通
过复杂的恒等变形转换来考查思维能力，回归到对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查 .从考查内容
看，着重考查“两域”(定义域、值域)和“七性”(单调性、奇偶性、对称性、周期性、有界性、最值、零
点).从命题形式看，常常与平面向量、不等式、函数与导数等知识交汇命题 .三角函数性质的研究有赖于
“一式”(三角函数解析式)和“一图”(三角函数图像)、“一线”(三角函数线)和“一算”(三角运算等代数
运算).下面以近三年的高考题为例，进行分类阐述.
1借助三角函数图像研究三角函数的性质
三角函数的图像可以直观地反映三角函数的性质，详见下表.
函数
图像
定义域 R R
值域 R
考点命题分析
周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性
增区间：
减区间：
增区间：
减区间：
增区间：
没有减区间
对称性
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心:
对称中心：
没有对称轴
因此，借助三角函数的图像研究其性质，是最常用的方法之一.
例1已知 ，在函数 与 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 ，则
.
变式提升:将函数 f(x)=sin2x的图像向右平移 个单位后得到函数 g(x)的图像.若对满足|f(x)－g(x)|
=2 的 ，有 ，则 ( )
A. B. C. D.
2借助三角函数线研究三角函数的性质
利用单位圆上的有向线段即三角函数线表示三角函数值，可以便捷地呈现三角函数的几何性质 .尤其在求解
三角方程、三角不等式和三角函数最值等问题时，三角函数线显得简单快捷.
正弦线的起点随着角的终边移动而移动，余弦线的起点为坐标原点 O，正切线的起点总是点 A(1，0)，这是
学生比较容易出错的地方，如图所示.
例2已知向量 .
(I)若a∥b，求 x的值；
(Ⅱ)记 ，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.
3通过代数运算研究三角函数的性质
在掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的基本性质的基础上，可以通过简单的代数运算 (如整体代换法)来
分析较为复杂的三角函数(如 的性质.
例3函数 f(x)= 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )
A．
B．
C．
D．
4通过三角函数性质描绘三角函数的图像
借助三角函数的图像可以研究其性质，反之，通过对三角函数性质的研究也可以描绘出三角函数的图像.
例4已知函数 （ 均为正的常数)的最小正周期为 π，当时，函数 f(x)取得最
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