《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》专题07导数的综合应用（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破

专题 07 导数的综合应用

1专题综述

纵观近三年的高考函数综合题型，把考查逻辑推理能力作为命题的首要任务，运用数学知识作为载体，加

强理性思维的考查.试题采取分步设问、逐层递进的方式，彰显试题的难易层次，以区分不同能力水平的考

生.以数形结合、分类与整合、函数与方程为观点统一组织材料，以推理论证、运算求解和创新意识来立意 .

侧重以 ex、Inx、四次函数、三次函数、二次函数、反比例函数、复合的整式和分式函数为背景，通过待定

系数法求函数的解析式，试题入口易、深入难.运用导数的几何意义求切线的方程，以导数为工具研究函数

的单调性、极值、最值、求参数的范围和证明不等式，通过分析求解条件、确定求解程序、调整思维进程

全面考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了考查学生发散思维和聚合思维的和谐统一.

2典例研究

2.1 切线问题

函数导数的几何意义是函数图像在某点处切线的斜率，因此我们经常在函数与导数试题中遇到求切线方程

或与切线相关的问题.学生通过导数的几何意义，应用数形结合的思想解决此类问题.解决切线问题的重点

在于明确切点在切线上、切点在曲线上、切点处的导数就是切线的斜率这三个要点 .以此类推，多条曲线共

切线问题、过一点引多条切线问题迎刃而解.

例1设a，b∈R，|a|≤1.已知函数 f(x)=x3－6x2－3a(a－4)x+b，.

已知函数 y=g(x)和y=ex的图像在公共点处有相同的切线.求证:f(x)在处的导数等于 0.

2.2 函数单调性与极值问题

运用函数的导数判定函数单调性、求函数极值是函数与导数中重要的基本问题 .根据题目的特点，找准解题

的切入点、分类讨论的关键点、认清极值存在的条件.同时要充分利用题目条件或已知结论，围绕单调性问

题，观察函数图像的变化趋势，结合函数方程的特点，层层递进求解答案.

例2设函数 f(x)=(x－1)3－ax－b，x∈R，其中 a，b∈R.

考点命题分析

(I)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若f(x)存在极点，且，其中，求证:；

(Ⅲ)设a>0，函数 g(x)=|f(x)|，求证:g(x)在区间[0，2]上的最大值不小于 .

2.3 函数零点问题

函数零点问题(或方程根的个数问题)是近几年高考的热点，在函数定义域内，探究函数单调性和极值，作

函数大致图像，探求函数零点个数或零点近似范围.各地高考常借助零点存在性问题向极值点偏移问题恒成

立问题等方面拓展.

例3已知函数有两个零点.

(I)求a的取值范围；

(Ⅱ)设是 f(x)的两个零点，证明:

思路探求 1:分析法寻求的等价命题，结合函数在区间(－∞，1)内单调递减，证明，

通过构造新函数，将其转化为函数最值问题.

2.4 函数与不等式问题

利用导数解决不等式综合问题，类型较多，常见的有求参数范围问题、数列问题、函数值 (极限值)估算问

题、恒成立问题等.我们常通过函数的单调性的讨论，结合不等式特有的性质，通过构造函数法、放缩法、

数学归纳法、定积分法解决问题.

例4设函数 .当x≥0 时，f(x)≤ax+1，求 a的取值范围.

3复习建议

我们在函数与导数的复习中，建议弄清以下基本问题:判断函数的单调性、求函数的极值(或最值)证明不等

式、求变量的变化范围、函数零点的讨论、函数图像等.在此基础上通过典型例题的训练加以巩固，做到讨

论不遗漏、分析要全面、计算要精确.对于高等数学的知识点:一阶线性偏微分方程、凹凸性判断、洛必达

法则、拉格朗日中值定理、罗尔中值定理、泰勒公式等内容，可根据具体解题需要在高考数学复习时提及 .

关于函数与导数，命题人注重考查教材中所蕴含的高等数学思想，恰当地在中学数学与高等数学知识的交

汇处设计试题.考查学生综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理等能力，这些试题通过

方法的选择、解题时间的长短，可以甄别出考生能力的差异，从而达到精确区分学生思维层次的目的.

1．已知函数在处的切线为 .

（1）求实数的值；

（2）求的单调区间.

2．已知函数，斜率为的直线与相切于点.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当实数时，讨论的极值点。

（Ⅲ）证明：.

3．已知 a为实数．

当，时，求在上的最大值；

当时，若在 R上单调递增，求 a的取值范围．

4．已知函数为反比例函数,曲线在处的切线方程为 .

（1）求的解析式;

（2）判断函数在区间内的零点的个数,并证明.

5．已知函数 .

（1）求函数的单调区间；

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