《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题07导数的综合应用（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 07 导数的综合应用
1专题综述
纵观近三年的高考函数综合题型，把考查逻辑推理能力作为命题的首要任务，运用数学知识作为载体，加
强理性思维的考查.试题采取分步设问、逐层递进的方式，彰显试题的难易层次，以区分不同能力水平的考
生.以数形结合、分类与整合、函数与方程为观点统一组织材料，以推理论证、运算求解和创新意识来立意 .
侧重以 ex、Inx、四次函数、三次函数、二次函数、反比例函数、复合的整式和分式函数为背景，通过待定
系数法求函数的解析式，试题入口易、深入难.运用导数的几何意义求切线的方程，以导数为工具研究函数
的单调性、极值、最值、求参数的范围和证明不等式，通过分析求解条件、确定求解程序、调整思维进程
全面考查学生分析问题和解决问题的能力，体现了考查学生发散思维和聚合思维的和谐统一.
2典例研究
2.1 切线问题
函数导数的几何意义是函数图像在某点处切线的斜率，因此我们经常在函数与导数试题中遇到求切线方程
或与切线相关的问题.学生通过导数的几何意义，应用数形结合的思想解决此类问题.解决切线问题的重点
在于明确切点在切线上、切点在曲线上、切点处的导数就是切线的斜率这三个要点 .以此类推，多条曲线共
切线问题、过一点引多条切线问题迎刃而解.
例1设a，b∈R，|a|≤1.已知函数 f(x)=x3－6x2－3a(a－4)x+b，.
已知函数 y=g(x)和y=ex的图像在公共点 处有相同的切线.求证:f(x)在 处的导数等于 0.
思路探求:此题为多曲线共切线问题.“公共点处有相同的切线”，让学生明确第一层意思:公共点 为函
数y=g(x)和y=ex的图像的交点，即点的坐标是两个曲线方程的解，此处考查了函数与方程的思想；第二层
意思:该点处切线相同，即函数 y=g(x)和y=e在该点处切线方程一样，进一步挖掘 y=g(x)和y=ex在该点处斜
率相等.通过建立方程组证明.
考点命题分析
证明:由于公共点 在 上，
所以 .①
因为 和 的图像在 处有相同的切线，
所以 ②
由①②得 .
此题在对切线问题的考查方式上有新意，立足于切线问题，将常规的数形结合思想拓展到函数与方程思想 .
对学生的推理论证能力、创新意识有较高的要求.也为我们高考复习切线问题开辟了一条新的途径，围绕着
“几何意义”这一基础知识点不断创新.
2.2 函数单调性与极值问题
运用函数的导数判定函数单调性、求函数极值是函数与导数中重要的基本问题 .根据题目的特点，找准解题
的切入点、分类讨论的关键点、认清极值存在的条件.同时要充分利用题目条件或已知结论，围绕单调性问
题，观察函数图像的变化趋势，结合函数方程的特点，层层递进求解答案.
例2设函数 f(x)=(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.
(I)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)存在极点 ，且，其中 ，求证:；
(Ⅲ)设a>0，函数 g(x)=|f(x)|，求证:g(x)在区间[0，2]上的最大值不小于.
思路探求:此题是三次函数(含参)类型问题，参数的取值影响函数图像的凹凸性，对函数的单调性、极值及
最值问题等进行深入考查.第(I)问求函数 f(x)的单调区间，求导后导函数为二次函数，将其转化为二次函数
的零点个数问题，由判别式△的正负问题进行分类讨论，重点考查了学生转化与化归、分类讨论的数学思
想；第(Ⅱ)问在第(I)问的基础上进一步深化，把存在性问题呈现在学生面前.其中 ，让学生将
函数值问题转化为函数图像问题，再转化为方程问题求解.重点考查了学生转化与化归、数形结合、函数与
方程的数学思想；第(Ⅲ)第(Ⅱ)问的基础上进一步加深，想深化对函数单调性的考查.若对第(Ⅱ)问的
“x1+2x0=3”没有清晰地认识，会对学生如何入手、如何分类造成很大的思维障碍.此题对学生推理论证能力、
运算求解能力有较高的要求.
解:(I)f(x)=(x－1)3－ax－b f'(x)= .
当a≤0 时， 在 R上单调递增；
当a>0 时， ，所以 f(x)在区 间 内单调递增，在区间
内单调递减
(Ⅱ)证明:由(I)知.
不妨设 为极大值点， 0，如图所示.
.
由f'(x)=0 得 ，代入上式得 ，结论得证.
(Ⅲ)证明:当a≥3 时，如图.
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