《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题06用导数证明不等式问题（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 06 用导数证明不等式问题
函数综合题多出现在高考压轴题位置，具有考查数学思想方法以及代数推理能力的功能，用导数证明不等
式问题是常见的考查形式.
本专题设计意图，一是复习用导数证明不等式的基本方法，也就是通过构造函数，把不等式证明问题转化
为利用导数研究函数的单调性或最值等问题；二是从看似平常的导数问题中发现、提炼不等式，或对常见
不等式进行变换，用以解决难度更大的不等式证明问题.
1导数证明不等式的常用方法
1.1 不等号左右两边结构相同的不等式，可以构造函数 f(x)，使原不等式化为形如 f(a)>f(b)的形式
例1已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤－2)证明:对任意 x1，x2∈(0，+∞)，.
思路探求:不妨设 ，由于 a≤－2， 故 f(x)在区间(0 ，+∞) 内单调递减，所以
等价于 ，即 .
设g(x)=f(x)+4x，则上式即为 g(x2)≥g(x1)，问题转化为证明函数 g(x)单调性的问题.
1.2 形如 f(x)>g(x)的不等式，可以构造函数 F(x)=f(x)－g(x)，转化为研究函数 F(x)>0 的问题
例2已知 .
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)当a=1 时，证明 对于任意的 x∈[1，2]成立.
思路探求:本问题是典型的构造函数证明不等式问题，证明方法是确定的，难点是如何研究新构造函数的性
质.
考点命题分析
解:当a=1 时， ，x∈[1，2]，
令g(x)=x－lnx，h(x)= .
则.
由 可得 g(x)≥g(1)=1，当且仅当 x=1 时取等号.
又 ，设 =－3x2－2x+6，则 在区间[1，2]上单调递减，因为 ，
所以存在 ，使得当 x∈(1，x0)时， ；当 x∈(x0，2)时， .
所以函数 h(x)在区间(1，x0)内单调递增；在区间(x0，2)内单调递减.
由 于 h(1)=1 ， ， 因 此 ， 当 且 仅 当 x=2 时 取 等 号 ， 所 以
，即 对于任意的 x∈[1，2]成立.
根据待证不等式的目标指向，按形式特征把新构造的函数分为两个函数 g(x)与h(x)分别研究，这是突破难
点的技巧方法，也是能力考查与高考创新的体现.
1.3 形如 的不等式，可选 x1(或x2)为主元，构造函数 (或).
例3已知函数 f(x)=lnx，设 ， 是函数 y=f(x)的图像上两点， (为
f(x)的导函数)，证明: .
思路探求:，于是 ， .
以下证明
①
① 式等价于 .
令 ，
则 ，在区间(0，x2)内， ，所以 r(x)在区间(0，x2)内为增函数.
当 时， ，即 ，从而 得证.
同理可证 .
上面解析中，我们把 中的 x1看作主元构造函数 r(x)，从而证明 .对于多
参变量函数，主元思想与整体代换是常用的解题策略.
2导数证明不等式的常用技巧
2.1 不等式的发现与运用
很多函数问题中，蕴含了一些常见的不等关系，需要我们去发现、提炼，并将其用于难度较大的不等式证
明问题中.
(1) (当且仅当 x=1 时取等号)；
(2) .
很多高考试题中的导数证明不等式问题，都有这类常见不等式的背景.
例4已知函数 .
(Ⅰ)证明:当x>0 时，f(x)<x；
(Ⅱ)证明:当k<1 时，存在 x0>0，使得对任意 ，恒有 f(x)>g(x)；
(Ⅲ)确定 k的所有可能取值，使得存在 t>0，对任意的 x∈(0，t)，恒有 f(x)－g(x)|<x2.
思路探求:由不等式(1)，可以直接得到 ，因此第(I)问是显而易见的.
对于第(Ⅱ)问，当 k≤0 时，不等式显然成立；
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