《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题05函数的性质（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 05 函数的性质
1地位分析
函数是数学高考考查的重点，函数的性质是函数的核心内容；函数的观点和方法贯穿整个高中代数的学习
过程，初等函数又是学习高等数学的基础，所以，函数试题在高考中所占比例较大，往往达到百分之三十
左右.
2试题特点
以函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性为切人点，有时融入参数，对数学基础知识、基本技能和基本
方法进行全面考查，能力要求高，能有效甄别学生灵活分析问题的能力、综合解决问题的能力；此类试题
综合性强，灵活多样，变化万千，难度小的试题较少；试题题型多以选择题、填空题的形式出现，时常也
融入解答题中；试题或是探求函数性质，或是应用性质解决问题，侧重于函数性质的理解和应用.
3内容分类
考查的主要内容有:(1)对基本初等函数的考查，如通过二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、高次整
式函数以及简单复合函数等，考查函数的性质及应用；(2)对分段函数的考查，如通过对分段函数的理解、
求值以及应用，考查函数的性质；(3)对函数性质的考查，如单调性、奇偶性、周期性、对称性等，往往是
将两个以上的性质融合在一起进行考查；(4)对抽象函数的考查，如通过抽象函数考查函数性质.
以上内容进行单一考查较少，试题往往是其中两个以上内容的融合.
4知识要点
(1)函数的单调性.注意单调性定义的等价表述 (或)，
则函数 f(x)为增(减)函数；也可等价表述为 (或)，则函数 f(x)为增(减)函数.除此
之外，也经常用导数研究函数的单调性.
(2)函数的最值.设函数 y=f(x)的定义域为 D，如果存在实数 M满足:对于任意的 x∈D，都有 f(x)≤M(f(x)≥M)；
存在 x∈D，使 f(x)=M那么，就将 M叫作函数 f(x)的最大值(最小值)
考点命题分析
(3)函数的奇偶性.定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要条件；对于偶函数 f(x)，有 f(x)=f(－x)=f(|
x|)；偶函数的图像关于 y轴对称，是特殊的轴对称图形；一般地，函数 f(x)的图像关于直线 x=a对称的等价
条件是 f(a+x)=f(a
－
x)(或f(2a－x)=f(x)).奇函数的图像关于原点对称，是特殊的中心对称图形；一般地，函
数f(x)的图像关于点(a，b)对称的等价条件是 f(2a－x)=2b
－
f(x).
(4)函数的周期性.T是函数 f(x)的周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是 f(x)的周期.
(5)函数的对称性.除前述对称问题外，还有:若对于任意的 x，f(a+x)=f(b－x)恒成立，则 f(x)的图像关于直线
对称；若函数 f(x)有两个对称轴 x=a，x=b，那么该函数必是周期为 2|a－b|的函数.
5典例讲解
解题教学的关键在于分析清楚题意，凭借所掌握的知识和获得的解题经验，识别每个条件的结构特征，理
解其内涵意蕴，探求问题解决的切入口，进而确立解题方向，对求解进程中的障碍找到突破方法、手段；
由于函数性质类试题题型以选择题、填空题居多，故采用解决此类题目的简洁解法为上，目标是求得正确
答案.
5.1 函数性质的判断
此类题一般为简单题.如果要确认一个函数具有某种性质，往往需要严谨的推理证明；若要否定一个函数不
具有某种性质，只需举一个反例即可；或者采用数形结合思想，利用函数图像加以判断.
例1已知函数 ，则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数
C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[－1，+∞)
思路探求:相对简单的分段函数，探求其性质，可结合定义及函数图像判断；主要涉及数形结合思想、分类
与整合思想.
方法点睛:分段研究，对选择支逐一辨析.
对于选项 A，f(－1)=cos1，f(1)=2，显然，f(－1)≠f(1)，故排除A；
对于选项 B，显然当 x≤0 时，f(x)=cosx 不是增函数，排除B；
对于选项 C，当x>0 时，f(x)=x2+1 不是周期函数，排除C；故选 D，
事实上，易得f(x)的值域为[－1，+∞).
也可结合图像，迅速识别:从f(x)的图像上看，排除选项 A，B，C，选择 D
5.2 函数性质的应用
函数性质的应用一般有两种类型:一种是在已知条件中告知函数所具有的性质，只需应用这些已知的性质解
决问题即可；另一种是仅给出函数的解析式，函数所具有的性质隐含于其中，这就需要根据问题情境挖掘
其性质，然后再利用性质解决问题.
例2已知函数 ，则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
思路探求:首先需要研究函数 f(x)的性质，再利用性质解决问题
方法点睛:易求得函数 f(x)的定义域为 R，且f(x)是偶函数，当x≥0 时，函数 f(x)单调递增.由f(x)>f(2x－1)得|x|
>|2x－1|，解得 .故选 A.
例3已知函数 f(x)(x∈R)满 足 f(－x)=2 －f(x)，若函数 与y=f(x)图像的交点 为 (x1，y1)，
，则 ( )
A．0 B．m C．2m D．4m
思路探求:该题的表象是求两个函数图像交点所有坐标之和.从交点数量来看，关键是弄清其规律，故需研
究两个函数的性质；主要涉及数形结合思想、化归与转化思想.
方法点睛:本题有两个已知条件，切入点是弄清f(－x)=2－f(x)的含义.
若教师在复习中知识拓展得较深入，学生不难迅速识别出函数 f(x)的图像关于点(0，1)成中心对称，因为
“函数 f(x)的图像若关于点(a，b)成中心对称图形，则 f(2a－x)=2b－f(x)”
若学生忘记这一知识点，则需要进一步分析探索.将f(－x)=2－f(x)变形为 ，不难发现f(x)的图
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