《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题04函数的最值问题（原卷版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 04 函数的最值问题
函数是数学的灵魂，是高中数学的主干知识，贯穿高中数学始终.函数的最值是函数的重要性质，与其他数
学知识联系紧密，在数学建模、最优化等问题中也有广泛的应用.它蕴含了函数与方程、数形结合、分类讨
论、等价转化等重要数学思想，是历年高考的必考内容.分析历年各地高考试卷中涉及的函数最值问题，主
要有以下特点:(1)总体难度中等偏上.(2)最值问题的呈现形式通常有三种.其一，直接给出函数求其最值，这
类题常以客观题形式出现；其二，在解答题中作为子问题出现，难度中等；其三，隐性呈现，如不等式恒
成立、有解等问题，几何或应用题中的最优化问题，需要对问题进行二次转化，化归为最值问题，这类题
难度较大.(3)近几年试卷中出现多变量函数的最值问题，这类题形式简单但难以找到解题突破口，虽然可以
通过转化化归为常见问题，但转化难度较大，对考查学生的思维能力确有其独到之处 .由于函数最值问题难
度较大，思维要求较高，常导致部分学生对某些问题“无从下手”或“会而不对，对而不全” .解决这一难
题，需从三方面入手:
(1)加强对最值概念的理解，注意其两个要素缺一不可(一是不等式对定义域中任意值恒成立，二是确保等
号取到)，通过多角度对常见函数最值问题的研究，再次回顾探求最值问题的常用策略和基本思想，拓宽解
题思路，增强选择意识和求简能力，熟悉探求最值的基本技能，培养直观想象能力；
(2)通过对较复杂的函数、多变量函数的最值问题的探求，强化转化化归意识，增强学生发现问题、分析问
题和解决问题的能力；
(3)通过最值概念与其他知识的综合运用，增强数学应用意识，培养数学模型和数据分析等综合能力.
本专题拟用两个课时完成，第一课时让学生在教师的帮助之下自主建构知能体系，并通过相关训练熟悉基
本方法，体会其中蕴含的数学思想.第二课时着重研究多变量函数最值问题和最值的简单应用问题，提升学
生的转化意识和数学应用能力.
1自主建构，联珠结网
“学之道在于悟”.经过前面的复习，学生已掌握了不少函数最值的求法，但稍显零碎、分散，没有进行归
纳总结.放手让学生自主盘点研究过哪些函数的最值?分别有哪些方法?尝试提炼其中蕴含的数学思想.由此总
结得出探求一次函数、二次函数、三次函数、简单一次分式函数、二次分式函数等常见代数函数最值的基
本方法和思想，进一步总结与指数函数、对数函数相关的函数以及简单的无理函数、含绝对值函数等超越
函数最值的探求方法，突出向代数函数转化的意识，提炼数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等
数学思想.让学生自我总结，历经自主建构知能体系的过程，有助于提升学生对最值问题的认识，培养回顾
反思的意识和概括总结的能力.
2立足基础，温故知新
“学数学重在做数学”.在自主建构出较为完善的知识体系的基础上，用以下几个与函数最值相关的问题，
熟识最值问题的常用处理策略，提升思路的选择与甄别能力，加强学生数学思想的渗透与培养.
例1－1函数 的最小值为 .
例1－2设函数 的最小值为 1，求实数a取值的集合.
考点命题分析
例1－3函数 y=2x－的最小值为
3合理转化，化生为熟
多变量函数最值问题的基本处理策略，是通过合理消元或代换转化为一元函数等学生较为熟悉的问题，
“整体思想”“函数与方程思想”等数学思想的正确运用是实现转化的关键所在.
例2－1已知实数x，y满足 3x+xy=3 ，则的最小值是 .
例2－2已知 a>b>c>0，求 的最小值.
4综合运用，以简驭繁
函数的最值在处理不等式有关问题(如恒成立、有解等)、函数其他性质的研究(如单调性、零点存在性)以及
实际应用问题中有其重要的作用，合理准确的转化是正确运用的关键.
例3－1已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，且.若在区间 上存在
x0，使得 成立，则实数a的最大值和最小值之和为 .
例3－2设函数 ，若对于定义域内的任意 x1，总存在x2使得 ，则满足条件的实数
a的取值范围是 .
例3－3设长方体各棱长之和为 36cm，表面积为48cm2，求该长方体体积的最大值和最小值.
1．函数 在闭区间 上有最大值 3，最小值为 2， 的取值范围是
A．B．C．D．
2．函数 在区间 上的最小值为( )
A．72 B．36 C．12 D．0
3．已知 ，且函数 在 上有最小值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
最新模拟题强化
4．函数 在 上的最大值与最小值之和为 3,则函数 在 上的最大值与最小值的差是
（ ）
A．6 B．1 C．3 D．
5．函数 在区间 上的最大值是 ，那么实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数 ，现给出如下结论：① 是奇函数；②是周期函数；③
在区间 上有三个零点；④的最大值为 2.其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设实数 ，满足 则代数式 （ ）
A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 1 D．有最大值
8．如果函数 对任意的实数 ，存在常数 ，使得不等式 恒成立，那么就称函数
为有界泛函．给出下面三个函数：① ；②；③ ．其中属于有
界泛函的是（ ）
A．①③ B．② C．③ D．①②
9．已知函数 在区间 的最大值为 2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．或6
 
f x x
 
f x x 
 
f x
 
1f x
 
2
f x x
 
2
1
x
f x x x
 
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