《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题02函数的图像（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 02 函数的图像
高考对函数图像的考查以选择题或填空题的形式出现居多，涉及的问题包罗万象，题目难度大都在中等以
上，涉及的学科思想包括函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一
般思想等.本专题内容通常安排两个课时复习，大体涉及以下三个方面的问题.
1已知函数图像研究函数解析式或函数性质，以函数图像的特殊点为突破口，以局部认知整体
例1函数 的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递减区间为( )
A．B．
C．D．
思路探求:本题考查由三角函数图像求三角函数的单调区间，可以训练学生利用数形结合思想、特殊与一般
思想解决问题的能力.由图像易得函数 f(x)的最小正周期为 2，而 ，得其最靠近坐标原
点的单调递减区间为 ，进而再由其周期为 2得其所有单调递减区间为 ，故选
择答案 D
方法点睛:此解法简洁、明快、易懂，其关键是要抓住函数的两个相邻零点 和 及其周期为
，先确定出一个递减区间.若将原题改为求函数解析式的填空题，则难度明显提升，但若改成
选择题确定函数解析式，最好的方法还是用最值点检验，难度自然会降低.
考点命题分析
例2函数 的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
A．B．
C．D．
思路探求:本题考查由函数图像判断函数解析式中参数的符号，考查学生利用数形结合思想、分类与整合思
想解决问题的能力.
由函数解析式及图像知，图像的渐近线方程为 x=－c>0，得 c<0.又 ，得 b>0.若a≥0，则当 x>0
且x≠－c时，必有 f(x)>0，即函数图像在 y轴右侧的部分必都位于 x轴的上方，与图像明显不符，故 a<0，
得答案 C
方法点睛:解决本题的突破口是利用点 及直线 x=－c的特殊性，得到 c<0，b>0 后究竟选择 A还是选择
C，只由 a>0 或a<0 决定.注意到 a>0 时实际情况与所给 y轴右侧部分的图像明显不符是关键.
另外，当得到 c<0，b>0 后，再由图像发现函数存在大于零的零点，由 f(x)=0，得 ，而 0<
，同样可得 a<0.
这里，我们还可进一步得到 b<ac，若将原题的选择支改为 A.b<ac，B.b>ac，C.b=ac，D.b2<ac”，难度会明
显加大.
2涉及“一静”“一动”两个函数图像，以静制动，动须切题
例3已知函数 其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x的方程 f(x)=b有三个不同
的根，则 m的取值范围是 .
思路探求:本题考查分段函数以及两个函数图像的交点个数，可以训练学生利用数形结合思想、函数与方程
思想解决问题的能力.
如图所示，作出函数 f(x)“左段”的图像(暂且将 m视为定值，图像相对确定，称为“静”)，而其“右段”
是以(m，4m－m2)y=b为顶点的抛物线的右半支.考虑到点(m，m)与点(m，4m－m2)相对位置关系的不确定性，
将4m－m2视为变量，称之为“动”，以点(m，m)的“静”制约点(m，4m－m2)的“动”，在如图 3所示的
三种情况中，只有③切题，故 4m－m2<m，而 m>0，得 m>3，即 m的取值范围为 .
方法点睛:以“静”制约“动”是解决此类问题极其有效的方法，固定点(m，m)，当点(m，4m－m2)在直线
x=m上运动时，只要其在点(m，m)的下方必存在直线 y=b与函数 f(x)的图像有三个交点.
例4已知函数 ，设a∈R，若关于 x的不等式 在 R上恒成立，则 a
的取值范围是( )
A．B．
C．D．
思路探求:本题属于分段函数及不等式恒成立问题，考查学生利用数形结合思想分类与整合思想解决问题的
能力.
首先作出函数 f(x)的图像，如图所示，
以其之“静”制约函数 图像之“动”.函数 的图像可由函数 的图像经过平移生
成，
当a<0 时向右平移－2a个单位，当 a>0 时向左平移 2a个单位.在平移的过程中必须保证函数 的
图像始终在函数 f(x)图像的“下方”(可有重合点)，不难由图像发现在移动的过程中 f(x)的图像的“左段”
与函数 的图像(折线)的左支相切是极限状态，此时方程 有唯一解，由判别
式△=0 得.同理可得 有唯一解，得 a=2 进而得 a的取值范围是 ，故选择答案 A
方法点睛:这里首先必须对 x>1 时，f(x)=x+的单调性做出判断，求导后易知， 时，f(x)为减函数；
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