《高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破》 专题01集合及其相关问题（解析版）

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2020 年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题 01 集合及其相关问题
集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容 .借助集合及相关问
题，既可以考查学生对集合语言(集合的表示符号)理解与掌握的程度，也可以考查学生高中阶段所学习的
其他数学内容，因此，集合是每年高考的必考内容.2017 年全国各地高考数学试卷中均有一道考查集合及
相关问题的题目.通过分析近三年全国各地高考试题可以看出，对集合及相关问题的考查呈现以下特点:一
是试题难度相对较低，符合《普通高中数学课程标准(试验)》的要求及各地考试说明的规定；二是题型一
般以选择题、填空题为主，分值在 5分左右；三是考查内容大致分为三种类型，分别是集合与解不等式综
合的客观题，集合与解析几何或其他考点综合的客观题，比较简单的交集、并集、补集运算 .四是试题虽然
比较简单，但是对于学生数学思维能力的要求并不低，除了对交集、并集、补集等相关概念的考查外，对
特殊与一般、化归与转化、数形结合等数学思想方法也做了考查.以下就近三年高考中常见的集合及相关问
题进行分析，希望能对高考复习有所帮助.
1集合与解不等式综合的客观题
这一类问题在高考中出现的比较多，学生往往会因为“小题大做”而导致解题时间过长，影响其他题目的
答题时间，造成“隐性失分”.也有可能会因为对某些基础知识的遗忘而“无从下手”，没有解题思路.建
议复习中选择典型高考试题，通过一题多解的方式，比较不同解法的思路与差异，寻找突破此类问题的最
简解法.
例1已知集合 A={x|x<1}，B={x|3x<1}，则( )
A．B．
C．D．
思路探求:
解法 1，由函数 的单调性可化简集合 B={x|3x<1}，由 可得 ，则 x<0，即 B={x|x<0}，再
考点命题分析
把A，B两集合画在数轴上，就可以得到答案.
解法 2:注意到本题为选择题，可以把题目所给的四个选项作为条件，采用特殊值法求解 .显然选项 A和选项
D不可能同时成立，选项 B和选项 C也不可能同时成立.在选项 A中选 x=－1，代入 A，B两集合检验，易
知x∈A且x∈B，从而可以排除选项 C和选项 D.
学生如果掌握了以上解法的思路，说明他们在充分理解交集、并集概念的基础上，具备了一定的逻辑推理
能力.
方法点睛:准确理解交集、并集的概念，对四个选项分类对比，利用特殊与一般思想，可以发现相对简单的
解题方法.
例2设集合 A={x|x2－4x+3<0}，B={x|2x－3>0}，则 A∩B=( )
A. B. C. D.
思路探求:直接求出题目所给的两个不等式的解集，再求两个集合的交集，解法没有错误，但就本题来说不
是最简单的解法.可以在四个选项所给的区间内，各选一个容易计算的数字逐一检验.如果对集合 B进行整
理可得 ，答案一目了然，不需要求出集合 A所给的一元二次不等式的解.
方法点睛:对于集合与解不等式综合的选择题，直接求解往往不是最简便的方法.把选项作为条件，从某个
局部进行突破，是解答所有选择题的重要方法之一.让学生比较本题的不同解法，感受各种解法的优劣，不
要满足于得出答案，还要努力寻找最优解法.
2集合与解析几何或其他考点综合的客观题
集合作为一种数学语言，常常用来“包装”解析几何问题、函数与方程问题、不等式问题(如例 1与例 2).
对于此类问题，一是要引导学生对题目进行分析，了解题目的考点，找出自己存在问题的考点；二是要尽
量避免“小题大做”，重视数形结合思想、特殊与一般思想的应用.
例3已知集合 ，B={(x，y)|y=x}，则 A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
思路探求:
解法 1，集合中的元素为点集，由题意，集合 A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集
合，集合 B表示直线 y=x上所有的点组成的集合，圆x2+y2=1 与直线 y=x相交于两点(1，1)，(－1，－1)，
则A∩B中有两个元素.故选B.
如果学生满足于以上解法，本题的复习价值就没有得到充分地开发.至少可以给学生提出两个问题:是否需
要求出交点的坐标?是否还有更简单的解法?由于本题是选择题，从四个选项可以看出，只需要判断圆与直
线交点的个数即可，不需要求出交点的坐标.为此，可给出以下两种解法.
解法 2:易知方程组，有两组实数解，故选B
解法 3:如果注意到本题中集合 A的元素是单位圆上的点，集合 B的元素是一条经过原点的直线，问题迎刃
而解.数形结合可能是本题最简单的解法之一.
方法点睛:看似容易的高考试题，实际上通过不同的解题方法考查了学生的数学思维能力.解法 3利用数形结
合的思想，不用动笔即可得出答案，这应该是针对难度不大的问题，后期复习需要特别强化解题策略.
例4设集合 A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2－1<0}，则 ( )
A. B. C. D.
思路探求:本题考查指数函数的值域，一元二次不等式，集合的补集.可以有以下两种解法.
解法 1:化简题目所给两个集合，得 A={y|y>0}，B={x|－1<x<1}，则 A∪B=(－1，+∞)，选 C.
解法 2:从四个选项中选择特殊数字检验求 解 .显然 0∈B，从而可以排除选项 B和选项 D；当x=0 时，
，即 1∈A，从而可以排除选项 A，故选C.
方法点睛:研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集
合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的
个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性，从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表所示.
3离散数集的交集、并集、补集等计算问题
此类问题一般难度较低，对学生的要求:一是要细心，稍有差错就会致错；二是要结合题目特点，灵活求解.
例5已知集合 A={1，2，3}，B={x|(x+1)(x－2)<0，x∈Z}，则 A∪B=( )
A．B．C．D．
思路探求:本题可以化简集合 B，再求集合 A与集合 B的并集.注意到题目所给四个选项的特征，可以有以下
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